Question

如圖所示，直角三角形內(nèi)部有一矩形，求矩形的最大面積．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：作OE⊥PQ于E交AB于F，由勾股定理求出PQ的值，設(shè)EF為x，則表示出OF，由△AOB∽△POQ，由相似三角形的性質(zhì)表示出AB，設(shè)矩形的面積為y，由據(jù)的面積公式表示出y與x的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．

解答：解：在Rt△POQ中，由勾股定理，得
PQ=50m．
作OE⊥PQ于E交AB于F，
∴

50OE

2

=

30×40

2

，
∴OE=24m．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥PQ，
∴△AOB∽△POQ，
∴

OF

OE

=

AB

PQ

，
設(shè)EF為x，則OF=24-x，
∴

24-x

24

=

AB

50

，
∴AB=

25(24-x)

12

，
設(shè)矩形的面積為y，由題意，得
y=x×

25(24-x)

12

，
∴y=-

25

12

（x-12）²+300
∵a=-

25

12

＜0，
∴當(dāng)x=12時(shí)，y_最大=300．
答：矩形的最大面積為300．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，相似三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，矩形的面積公式的運(yùn)用，二次函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．