Question

如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為12cm，∠B=60°，從初始時(shí)刻開始，點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/秒的速度沿A→C→B的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以4cm/秒的速度沿A→B→C→D的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)D點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒時(shí)，解答下列問(wèn)題：
（1）點(diǎn)P、Q從出發(fā)到相遇所用時(shí)間是

 

秒；
（2）點(diǎn)P、Q從開始運(yùn)動(dòng)到停止的過(guò)程中，當(dāng)△APQ是等邊三角形時(shí)，請(qǐng)求此時(shí)x的值是多少秒？

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）菱形ABCD的邊長(zhǎng)為12厘米，∠B=60°，則易證△ABC是等邊三角形，邊長(zhǎng)是12厘米．點(diǎn)P、Q從出發(fā)到相遇，即兩人所走的路程的和是36cm．設(shè)從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間是x秒．列方程就可以求出時(shí)間．
（2）當(dāng)P在AC上，Q在AB上時(shí)，AP≠AQ，則一定不是等邊三角形，當(dāng)△APQ是等邊三角形時(shí)，Q一定在邊CD上，P一定在邊CB上，若△APQ是等邊三角形，則CP=DQ，根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系，就可以得到一個(gè)關(guān)于x的方程，就可以得到x的值．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=12cm，
又∵∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
設(shè)點(diǎn)P，Q從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間是x秒．
根據(jù)題意得：2x+4x=12×3，
解得x=6．
即點(diǎn)P、Q從出發(fā)到相遇所用時(shí)間是6秒；
故答案為：6；

（2）若△APQ是等邊三角形，
此時(shí)點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在CD上，且△ADQ≌△ACP，
則CP=DQ，
即2x-12=36-4x，
解得x=8．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．