Question

已知拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)為y=a（x+10）（x+5），它與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)D是以B為圓心、5為半徑的圓周上位于第二象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，直線AD與y軸交于點(diǎn)E，設(shè)E（0，2t）．
（1）在拋物線對(duì)稱軸上分別求滿足下列條件的點(diǎn)的坐標(biāo)（用t表示）：
①求點(diǎn)P使APBE的周長(zhǎng)最�。�
②求點(diǎn)Q使QE-QB的值最大；
（2）若直線與CD與⊙B相切，試用t表示a；
（3）在（1）、（2）的條件下，若6≤OD≤8，求ACPB面積的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）求出對(duì)稱軸，根據(jù)①BE定值，故當(dāng)P為直線AE與拋物線對(duì)稱軸交點(diǎn)時(shí)，△PBE的周長(zhǎng)最小，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)Q位于直線EB與拋物線對(duì)稱交點(diǎn)時(shí)，QE-QB的值最大，據(jù)此求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）若直線CD與⊙B相切，∠EAO=α，則∠ADB=∠ODC=α，在Rt△AOE中，易求得∠DEO=∠EDC=90°-α，∠DOE=α，故有CE=CD=OC，即是OE中點(diǎn)，判斷出關(guān)系式；
（3）設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交與T，則S_△CPB=S_梯形OCPT-S_△CPB-S_△COB，列出面積的表達(dá)式

5

2

t，根據(jù)t的取值范圍求出面積的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，a（x+10）（x+5）=0，x₁=-10，x₂=-5．
對(duì)稱軸為x=

-10-5

2

=-7.5；
①如圖a，∵點(diǎn)B和點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，而對(duì)于每一個(gè)確定的t值，BE定值，故當(dāng)P為直線AE與拋物線對(duì)稱軸交點(diǎn)時(shí)，△PBE的周長(zhǎng)最小．
易求得直線EA對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)為：y=

t

5

x+2t，當(dāng)x=-7.5時(shí)，y=0.5t，即P（-7.5，0.5t）．
②如圖b，當(dāng)點(diǎn)Q位于直線EB與拋物線對(duì)稱交點(diǎn)時(shí)，QE-QB的值最大，否則Q、B、E三點(diǎn)構(gòu)成三角形，則QE-QB＜EB，
由直線EB對(duì)應(yīng)一次函數(shù)為：y=

2t

5

x+2t，當(dāng)x=-7.5時(shí)，y=-t，即Q（-7.5，-t）；
（2）如圖c，令y=a（x+10）（x+5）中，x=0，得C（0，50a），
解法1：若直線CD與⊙B相切，連接BD，則BD⊥DC，又AO是⊙B的直徑，
∴AD⊥DO，若設(shè)∠EAO=α，則∠ADB=∠ODC=α，在Rt△AOE中，
易求得∠DEO=∠EDC=90°-α，
∠DOE=α，故有CE=CD=OC，即是OE中點(diǎn)，故100a=2t，即t=50a．
解法2：∵CD、CO都與⊙B相切，
∴CD=CO，
∴∠CDO=∠COD，
在Rt△EDO中，∠DEO+∠DOE=90°，∠EDC+∠ODC=90°，
∴∠EDC=∠OEDC，
∴CD=CE，又由CD=CO，
∴CE=CO，即C是OE中點(diǎn)，
故100a=2t，即t=50a．
（3）解法1：易證Rt△OAD∽R(shí)t△EAO，設(shè)OD=x，即

x

2t

=

10

100+4t2

，即x²=

100t2

25+t2

，由36≤

100t2

25+t2

≤64，得

15

4

≤t≤

20

3

．
由（1）P（-7.5，0.5t），由（2）C（0，t），如圖d，設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交與T，則S_△CPB=S_梯形OCPT-S_△CPB-S_△COB=

1

2

（0.5t+t）×

15

2

-

1

2

×

5

2

×0.5t-

1

2

×5×t=

5

2

t，
∵

75

8

≤

5

2

t≤

50

3

，
∴△CPB的面積的取值范圍是：

75

8

≤S_△CPB≤

50

3

．
 解法2：由圖e，當(dāng)OD最長(zhǎng)時(shí)，在Rt△AOD中，tan∠DAO=

OD

OA

=

4

3

，
在Rt△AOE中，tan∠EAO=

OE

AO

=

2t

10

=

4

3

，即t=

20

3

，
同理，當(dāng)OD最短時(shí)，t=

15

4

，故

15

4

≤t≤

20

3

，
如圖e（為了清晰，隱藏了拋物線），
∵AE∥BC，
∴S_△PBC=S_△DBC，
又∵S_△OBC=S_△DBC，
∴S_△PBC=S_△OBC=

5t

2

，
∵

75

8

≤

5

2

t≤

50

3

，
∴△CPB的面積的取值范圍是：

75

8

≤S_△CPB≤

50

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及相似三角形、圓等知識(shí)，要充分利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行分析，找到解決問題的突破口．同時(shí)要注意一題多解，提升能力．