Question

如圖，一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸，y軸交于A、B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=

4

x

的圖象相交于C，B兩點(diǎn)，分別過C，D兩點(diǎn)作y軸，x軸的垂線，垂足為E，F(xiàn)，連接CF，DE，有下列四個(gè)結(jié)論
①△CEF與△DEF的面積相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=BD，其中正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：①根據(jù)函數(shù)解析式，可得圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
②根據(jù)等第三角形的高相等，可得EF∥CD，根據(jù)相似三角形的判定，可得答案；
③根據(jù)聯(lián)立函數(shù)解析式，可得方程，根據(jù)解方程，可得C、D點(diǎn)的坐標(biāo)，可得CE與DF的關(guān)系，根據(jù)自變量與函數(shù)值的關(guān)系，可得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，可得∠ABO=∠BAO=45°，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠DCE=∠FDA=45°，根據(jù)SAS，可得答案；
④根據(jù)平行四邊的判定與性質(zhì)，可得BD=EF，AC=BD，可得答案．

解答：解：①設(shè)D（x，

4

x

），則F（x，0），
由圖象可知x＞0，
∴△DEF的面積是：

1

2

×|

4

x

|×|x|=2，
設(shè)C（a，

4

a

），則E（0，

4

a

），
由圖象可知：

4

a

＜0，a＞0，
△CEF的面積是：

1

2

×|a|×|

4

a

|=2，
∴△CEF的面積=△DEF的面積，
故①正確；
②△CEF和△DEF以EF為底，則兩三角形EF邊上的高相等，
故EF∥CD，
∴FE∥AB，
∴△AOB∽△FOE，
故②正確；
③∵C、D是一次函數(shù)y=x+3的圖象與反比例函數(shù)y=

4

x

的圖象的交點(diǎn)，
∴x+3=

4

x

，
解得：x=-4或x=1，
經(jīng)檢驗(yàn)：x=-4或1都是原分式方程的解，
∴D（1，4），C（-4，-1），
∴DF=4，CE=4，
∵一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，
∴A（-3，0），B（0，3），
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵DF∥BO，AO∥CE，
∴∠BCE=∠BAO=45°，∠FDA=∠OBA=45°，
∴∠DCE=∠FDA=45°，
在△DCE和△CDF中

DF=CE ∠FDC=∠ECD DC=CD

，
∴△DCE≌△CDF（SAS），
故③正確；
④∵BD∥EF，DF∥BE，
∴四邊形BDFE是平行四邊形，
∴BD=EF，
同理EF=AC，
∴AC=BD，
故④正確；
正確的有4個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，①利用了自變量與函數(shù)值的關(guān)系，三角形的面積公式，②利用了等底等高的三角形的面積相等，相似三角形的判定，③利用了函數(shù)與方程的關(guān)系，平行線的判定，全等三角形的判定，④利用了平行四邊形的判定與性質(zhì)．