Question

直線l垂直x軸于點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)P是l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P的拋物線y=x²+bx+c與x軸交于原點(diǎn)O和點(diǎn)B，拋物線的對(duì)稱軸交OP于點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)D，連接PD、PB、BC，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m．
（1）求當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)拋物線的解析式；
（2）若△PAD的面積是△PAB的2倍，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）是否存在點(diǎn)P，使△PBC為直角三角形？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將已知點(diǎn)A和原點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；
（2））根據(jù)△PAD的積是△PAB的2倍，根據(jù)當(dāng)點(diǎn)P在x軸的上方時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P在x軸的下方時(shí)兩種情況分類討論即可確定點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）分當(dāng)點(diǎn)P在x軸的上方時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P在x軸的下方時(shí)兩種情況利用△PAB∽△PAP得到比例式，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由已知P（4，0），O（0，0），
∴

16+4b+c=0 c=0

，
∴

b=4 c=0

，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x；

（2）∵△PAD的積是△PAB的2倍，
∴AD=2AB，
當(dāng)點(diǎn)P在x軸的上方時(shí)，如圖1，
∵AD=2AB，
∴AB=DB，
∵DB=DO，
∴OD=OB=AB=

4

3

，
∴B（

8

3

，0）；
當(dāng)點(diǎn)P在x軸的下方時(shí)，如圖2，
設(shè)AB=k，則AD=2k，
∴OD=DB=3k，由OA=4得3k+2k=4，
∴k=

4

5

，
∴B（

24

5

，0），
∴所求點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

24

5

，0）或（

8

3

，0）；

（3）存在點(diǎn)P，使得△PBC為直角三角形，
當(dāng)點(diǎn)P在x軸的上方時(shí)，如圖1，
若∠PCA=90°，
∵CO=CB，
∴∠POA=45°，
∴PA=OA=4，
∴P（4，4）；
若∠PCA=90°，則有∠APB=∠CBD=∠COD，
又∵∠PAB=∠OAP，
∴△PAB∽△OAP，
∴

AB

AP

=

AP

OA

，
∵y=x²+bx+c過（0，0）和（4，m），
∴拋物線的解析式為y=x²+（

m

4

-4）x，
∴B（4-

m

4

，0），
∴AB=

m

4

，
∴

m 4

m

=

m

4

，
解得：m=1，
∴P（4，1），
當(dāng)點(diǎn)P在x軸的下方時(shí)，如圖2，
若∠PCB=90°，
∵CO=CB，
∴∠POB=45°，
∴PA=OA=4，
∴P（4，-4），
若∠CPB=90°，則可證△PAB∽△PAP，
∴

AB

AP

=

AP

OA

，
由上題得B（4-

m

4

，0），
∴AB=-

m

4

，
∴

- m 4

-m

=

-m

4

，
解得：m=-1，
綜上，所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，4）、（4，1）、（4，-4）、（4，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，特別是題目中用到的分類討論數(shù)學(xué)思想更是中考的熱點(diǎn)考題之一，另外存在性問題也是中考的另一個(gè)重要考點(diǎn)，有一定的難度．