【題目】如圖,D為⊙O上一點(diǎn),點(diǎn)C在直徑BA的延長線上,∠CDA=∠CBD.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)過點(diǎn)B作⊙O的切線交CD的延長線于點(diǎn)E,若BC=9,tan∠CDA=,求BE的長.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】分析: (1)連OD,OE,根據(jù)圓周角定理得到∠ADO+∠1=90°,而∠CDA=∠CBD,∠CBD=∠1,于是∠CDA+∠ADO=90°;
(2)根據(jù)切線的性質(zhì)得到ED=EB,OE⊥BD,則∠ABD=∠OEB,得到tan∠CDA=tan∠OEB==,易證Rt△CDO∽R(shí)t△CBE,得到===,求得CD,然后在Rt△CBE中,運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出BE的長.
詳解:
(1)證明:連OD,OE,如圖,
∵AB為直徑,
∴∠ADB=90°,即∠ADO+∠1=90°,
又∵∠CDA=∠CBD,
而∠CBD=∠1,
∴∠1=∠CDA,
∴∠CDA+∠ADO=90°,即∠CDO=90°,
∴CD是⊙O的切線;
(2)解:∵EB為⊙O的切線,ED是切線,
∴ED=EB,∵OB=OD,
∴OE⊥DB,
∴∠ABD+∠DBE=90°,∠OEB+∠DBE=90°,
∴∠ABD=∠OEB,
∴∠CDA=∠OEB.
而tan∠CDA=,
∴tan∠OEB==,
∵Rt△CDO∽R(shí)t△CBE,
∴===,
∴CD=×9=6,
在Rt△CBE中,設(shè)BE=x,
∴(x+6)2=x2+92,
解得x=.
即BE的長為.
點(diǎn)睛: 本題考查了切線的判定與性質(zhì):過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線;也考查了圓周角定理的推論以及三角形相似的判定與性質(zhì),熟練應(yīng)用切線判定是解題的關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下面材料:
小明在數(shù)學(xué)課外小組活動(dòng)時(shí)遇到這樣一個(gè)問題:
如果一個(gè)不等式(含有不等號(hào)的式子)中含有絕對(duì)值,并且絕對(duì)值符號(hào)中含有未知數(shù),我們把這個(gè)不等式叫做絕對(duì)值不等式.
求絕對(duì)值不等式的解集(滿足不等式的所有解).
小明同學(xué)的思路如下:
先根據(jù)絕對(duì)值的定義,求出恰好是3時(shí)的值,并在數(shù)軸上表示為點(diǎn),,如圖所示.觀察數(shù)軸發(fā)現(xiàn),
以點(diǎn),為分界點(diǎn)把數(shù)軸分為三部分:
點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示的數(shù)的絕對(duì)值大于3;
點(diǎn),之間的點(diǎn)表示的數(shù)的絕對(duì)值小于3;
點(diǎn)B右邊的點(diǎn)表示的數(shù)的絕對(duì)值大于3.
因此,小明得出結(jié)論,絕對(duì)值不等式的解集為:或.
參照小明的思路,解決下列問題:
(1)請(qǐng)你直接寫出下列絕對(duì)值不等式的解集.
①的解集是 ;
②的解集是 .
(2)求絕對(duì)值不等式的解集.
(3)直接寫出不等式的解集是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線l1的解析表達(dá)式為y=-3x+3,且l1與x軸交于點(diǎn)D,直線l2經(jīng)過點(diǎn)A,B,直線l1,l2,交于點(diǎn)C.
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)求直線l2的解析表達(dá)式;
(3)求△ADC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一.為了倡導(dǎo)“節(jié)約用水從我做起”,小剛在他所在班的50名同學(xué)中,隨機(jī)調(diào)查了10名同學(xué)家庭中一年的月均用水量(單位:t),并將調(diào)查結(jié)果繪成了如下的條形統(tǒng)計(jì)圖
【1】求這10個(gè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù);
【2】根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計(jì)小剛所在班50名同學(xué)家庭中月均用水量不超過7 t的約有多少戶.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校一社團(tuán)為了了解市區(qū)初中學(xué)生視力變化情況,從市區(qū)年入校的學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生連續(xù)三年的視力跟蹤調(diào)查,并將收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,制成了折線統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.
(1)這次接受調(diào)查的學(xué)生有_____________人;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中“”所對(duì)應(yīng)的圓心角有多少度?
(3)現(xiàn)規(guī)定視力達(dá)到及以上為合格,若市區(qū)年入校的學(xué)生共計(jì)人,請(qǐng)你估計(jì)該屆名學(xué)生的視力在年有多少名學(xué)生合格.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,4),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0),E為AB上的點(diǎn),當(dāng)△CDE的周長最小時(shí),點(diǎn)E的坐標(biāo)為( 。
A. (1,3) B. (3,1) C. (4,1) D. (3,2)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市在城中村改造中,需要種植、兩種不同的樹苗共棵,經(jīng)招標(biāo),承包商以萬元的報(bào)價(jià)中標(biāo)承包了這項(xiàng)工程,根據(jù)調(diào)查及相關(guān)資料表明, 、兩種樹苗的成本價(jià)及成活率如表:
品種 | 購買價(jià)(元/棵) | 成活率 |
設(shè)種植種樹苗棵,承包商獲得的利潤為元.
()求與之間的函數(shù)關(guān)系式.
()政府要求栽植這批樹苗的成活率不低于
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為提高學(xué)生的漢字書寫能力,開展了“漢字聽寫”大賽.七、八年級(jí)各有150人參加比賽,為了解這兩個(gè)年級(jí)參加比賽學(xué)生的成績情況,從中各隨機(jī)抽取10名學(xué)生的成績,數(shù)據(jù)如下:
七年級(jí) 88 94 90 94 84 94 99 94 99 100
八年級(jí) 84 93 88 94 93 98 93 98 97 99
整理數(shù)據(jù):按如下分段整理樣本數(shù)據(jù)并補(bǔ)全表格:
分析數(shù)據(jù):補(bǔ)全下列表格中的統(tǒng)計(jì)量:
得出結(jié)論:你認(rèn)為抽取的學(xué)生哪個(gè)年級(jí)的成績較為穩(wěn)定?并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,∠AOB是直角,∠AOC=40°,ON是∠AOC的平分線,OM是∠BOC的平分線.
(1)求∠MON的大小.
(2)當(dāng)銳角∠AOC的大小發(fā)生改變時(shí),∠MON的大小是否發(fā)生改變?為什么?
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