【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作圓O,分別交BC于點D,交CA的延長線于點E,過點DDHAC于點H,連接DE交線段OA于點F.

(1)求證:DH是圓O的切線;

(2)若AEH的中點,求的值;

(3)若EA=EF=1,求圓O的半徑.

【答案】(1)見解析;(2);(3)

【解析】試題分析:(1)根據(jù)同圓的半徑相等和等邊對等角證明:ODB=∠OBD=∠ACB,則DHOD,DH是圓O的切線;

(2)如圖2,先證明E=∠B=∠C,則HEC的中點,設(shè)AE=x,EC=4x,則AC=3x,由ODABC的中位線,得:OD=AC=,證明AEF∽△ODF,列比例式可得結(jié)論;

(3)如圖2,設(shè)O的半徑為r,即OD=OB=r,證明DF=OD=r,則DE=DF+EF=r+1,BD=CD=DE=r+1,證明BFD∽△EFA,列比例式為:,則,求出r的值即可.

(1)連接OD,如圖1,∵OB=OD,∴△ODB是等腰三角形,OBD=∠ODB,在ABC中,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,由①②得:ODB=∠OBD=∠ACB,∴ODAC,∵DHAC,∴DHOD,∴DH是圓O的切線;

(2)如圖2,在O中,∵∠E=∠B,∴由(1)可知:E=∠B=∠C,∴△EDC是等腰三角形,DHAC,且點AEH中點,設(shè)AE=x,EC=4x,則AC=3x,連接AD,則在O中,ADB=90°,ADBD,∵AB=AC,∴DBC的中點,ODABC的中位線,ODAC,OD=AC=,∵ODAC,∴∠E=∠ODF,在AEFODF中,∵∠E=∠ODF,∠OFD=∠AFE,∴△AEF∽△ODF,∴,∴ =,∴ =;

(3)如圖2,設(shè)O的半徑為r,即OD=OB=r,∵EF=EA,∴∠EFA=∠EAF,∵ODEC,∴∠FOD=∠EAF,則FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD,∴DF=OD=r,∴DE=DF+EF=r+1,∴BD=CD=DE=r+1,在O中,∵∠BDE=∠EAB,∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE,∴BF=BD,△BDF是等腰三角形,BF=BD=r+1,∴AF=ABBF=2OBBF=2r﹣(1+r)=r﹣1,在BFDEFA中,∵∠BDF=∠EFA,∠B=∠E,∴△BFD∽△EFA,∴,∴,解得:r1=,r2=(舍),綜上所述,O的半徑為

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(1)如果銷售完這10臺電器,兩家商場的盈利各多少元(結(jié)果用含m,n的式子表示)?

(2)如果銷售完這10臺電器,兩家商場的盈利相差多少元(結(jié)果用含m,n的式子表示)?

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