【題目】DEF中,DE=DF,點(diǎn)BEF邊上,且∠EBD=60°,C是射線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合,且BC≠BE),在射線BE上截取BA=BC,連接AC.

(1)當(dāng)點(diǎn)C在線段BD上時(shí),

①若點(diǎn)C與點(diǎn)D重合,請(qǐng)根據(jù)題意補(bǔ)全圖1,并直接寫(xiě)出線段AEBF的數(shù)量關(guān)系為________;

②如圖2,若點(diǎn)C不與點(diǎn)D重合,請(qǐng)證明AE=BF+CD;

(2)當(dāng)點(diǎn)C在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí),用等式表示線段AE,BF,CD之間的數(shù)量關(guān)系,不用證明.

【答案】(1)①圖見(jiàn)解析;②證明見(jiàn)解析;(2)AE=BF-CD(或AE=CD-BF.)

【解析】

試題

(1)①按要求補(bǔ)全圖形如圖3,由已知條件易證△ABD是等邊三角形,再證△DBE≌△DAF,可得BE=AF,從而可得AE=BF;②如圖2,BE上截取BG=BD,連接DG,易證△GBD、△ABC都是等邊三角形,再證△DGE≌△DBF即可得到所求結(jié)論

(2)如圖5、圖6,當(dāng)點(diǎn)CBD延長(zhǎng)線上時(shí),需分點(diǎn)A在線段BE上和線段BE的延長(zhǎng)線上兩種情況分析討論,由已知條件易證△CAB和△DGB都是等邊三角形,由此易得DC=AG;再證△DGE≌△DBF可得DG=BF,即可得到DC、AE、BF間的數(shù)量關(guān)系.

(1)①補(bǔ)全圖形如圖3所示:

∵BA=BC,∠EBD=60°,

∴△ABD為等邊三角形

∴∠DAB=∠DBA=60°,DB=DA,

∵DE=DF,

∴∠E=∠F,

∴△DBE≌△DAF,

∴BE=AF,

∴BE-AB=AF-AB,AE=BF;

②如圖4,在BE上截取BG=BD,連接DG

∵∠EBD=60°,BG=BD,

∴△GBD是等邊三角形.

同理,△ABC也是等邊三角形.

AG=CD.DE=DF,

∴∠E=F.

又∵∠DGB=DBG=60°,

∴∠DGE=DBF=120°.

∴△DGE≌△DBF

GE=BF,

AE=BF+CD.

(2)如圖5、圖6,當(dāng)點(diǎn)CBD延長(zhǎng)線上時(shí),需分點(diǎn)A在線段BE上和線段BE的延長(zhǎng)線上兩種情況分析討論,

當(dāng)點(diǎn)A在線段BE上時(shí),在線段BE上截取BG=BD,連接DG,

∵∠DBE=60°,BA=BC,BG=BD,

∴△CBA、△DBG都是等邊三角形,BA-BG=BC-BD,

∴∠DGB=∠DBG=60°,AG=CD,

∴∠DGE=∠DBF,

∵DE=DF,

∴∠E=∠F,

∴△DGE≌△DBF,

∴GE=BF,

∴AE=GE-AG=BF-CD;

同理,如圖6,可得AE=CD-BF;

綜上所述,當(dāng)點(diǎn)C在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí),AE=BF-CD(或AE=CD-BF).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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根據(jù)以上信息完成下列問(wèn)題:

(1)統(tǒng)計(jì)表中的m= ,n= ;

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

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(1)求m,n的值.
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【題目】解答
(1)閱讀理解:
我們把滿足某種條件的所有點(diǎn)所組成的圖形,叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡.
例如:角的平分線是到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡.
問(wèn)題:如圖1,已知EF為△ABC的中位線,M是邊BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AM交EF于點(diǎn)P,那么動(dòng)點(diǎn)P為線段AM中點(diǎn).
理由:∵線段EF為△ABC的中位線,∴EF∥BC,
由平行線分線段成比例得:動(dòng)點(diǎn)P為線段AM中點(diǎn).
由此你得到動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是:
(2)知識(shí)應(yīng)用:
如圖2,已知EF為等邊△ABC邊AB、AC上的動(dòng)點(diǎn),連結(jié)EF;若AF=BE,且等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8,求線段EF中點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng).
(3)拓展提高:
如圖3,P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合),在線段AB的同側(cè)分別作等邊△APC和等邊△PBD,連結(jié)AD、BC,交點(diǎn)為Q.

①求∠AQB的度數(shù);
②若AB=6,求動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng).

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