【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn).直線y=kx+b與拋物線y=mx2﹣ x+n同時(shí)經(jīng)過A(0,3)、B(4,0).
(1)求m,n的值.
(2)點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn),(點(diǎn)M在AB下方),過M作MN⊥x軸,與AB交于點(diǎn)N,與x軸交于點(diǎn)Q.求MN的最大值.
(3)在(2)的條件下,是否存在點(diǎn)N,使△AOB和△NOQ相似?若存在,求出N點(diǎn)坐標(biāo),不存在,說明理由.
【答案】
(1)
解:∵拋物線y=mx2﹣ x+n經(jīng)過A(0,3)、B(4,0),
∴ ,
解得 .
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2﹣ x+3.
(2)
解:∵直線y=kx+b經(jīng)過A(0,3)、B(4,0),則 ,
解得 .
∴經(jīng)過AB兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式為y=﹣ x+3.
MN=﹣ x+3﹣(x2﹣ x+3)=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,
∵0≤x≤4,
∴當(dāng)x=2時(shí),MN取得最大值為4.
(3)
解:存在.
①當(dāng)ON⊥AB時(shí),(如圖1)
可證:∠NOQ=∠OAB,∠OQN=∠AOB=90°,
∴△AOB∽△OQN.
∴ = = ,
∴OA=3,OB=4,
∴AB=5,
∵ONAB=OAOB,
∴ON= ,
∴NQ= ,OQ= .
∴N( , );
②當(dāng)N為AB中點(diǎn)時(shí),(如圖2)
∠NOQ=∠B,∠AOB=∠NQO=90°,
∴△AOB∽∽△NQO.此時(shí)N(2, ).
∴滿足條件的N( , )或N(2, ).
【解析】(1)根據(jù)拋物線y=mx2﹣ x+n經(jīng)過A(0,3)、B(4,0),將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線即可得出m,n的值;(2)根據(jù)待定系數(shù)法可求經(jīng)過AB兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式,得到MN=﹣ x+3﹣(x2﹣ x+3)=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,從而求解;(3)分兩種情況討論,①當(dāng)ON⊥AB 時(shí),②當(dāng)N為AB中點(diǎn)時(shí),依次求出點(diǎn)N的坐標(biāo)即可.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(﹣3,0),與y軸交于點(diǎn)C,且OC=OB.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接BE,CE,求四邊形BOCE面積的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上,若線段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好也落在此拋物線上,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△DEF中,DE=DF,點(diǎn)B在EF邊上,且∠EBD=60°,C是射線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合,且BC≠BE),在射線BE上截取BA=BC,連接AC.
(1)當(dāng)點(diǎn)C在線段BD上時(shí),
①若點(diǎn)C與點(diǎn)D重合,請(qǐng)根據(jù)題意補(bǔ)全圖1,并直接寫出線段AE與BF的數(shù)量關(guān)系為________;
②如圖2,若點(diǎn)C不與點(diǎn)D重合,請(qǐng)證明AE=BF+CD;
(2)當(dāng)點(diǎn)C在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí),用等式表示線段AE,BF,CD之間的數(shù)量關(guān)系,不用證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中,給出了格點(diǎn)△ABC(頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)).
(1)將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′BC′,請(qǐng)畫出△A′BC′,并求BA邊旋轉(zhuǎn)到BA′位置時(shí)所掃過圖形的面積;
(2)請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出一個(gè)△A″B″C″,使△A″B″C″∽△ABC,且相似比不為1.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+ =0有實(shí)數(shù)根,k為正整數(shù).
(1)求k的值;
(2)當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí),將關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+2x+ 的圖象向下平移9個(gè)單位,求平移后的圖象的表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,平移后的二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),直線y=kx+b(k>0)過點(diǎn)B,且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為C,直線BC上方的拋物線與線段BC組成新的圖象,當(dāng)此新圖象的最小值大于﹣5時(shí),求k的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】等腰三角形ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,已知點(diǎn)A(﹣6,0),點(diǎn)B在原點(diǎn),CA=CB=5,把等腰三角形ABC沿x軸正半軸作無(wú)滑動(dòng)順時(shí)針翻轉(zhuǎn),第一次翻轉(zhuǎn)到位置①,第二次翻轉(zhuǎn)到位置②…依此規(guī)律,第15次翻轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知直線y1=﹣ x+1與x軸交于點(diǎn)A,與直線y2=﹣ x交于點(diǎn)B.
(1)求△AOB的面積;
(2)求y1>y2時(shí)x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù) y=kx+b 的圖象經(jīng)過點(diǎn)(﹣1,1)和點(diǎn)(1,﹣5)
(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)此函數(shù)與 x 軸的交點(diǎn)是 A,與 y 軸的交點(diǎn)是 B,求△AOB 的面積;
(3)求此函數(shù)與直線 y=2x+4 的交點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(4,0),與y軸交于點(diǎn)B,在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E(m,0)(0<m<4),過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M.
(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)△PMN的周長(zhǎng)為C1 , △AEN的周長(zhǎng)為C2 , 若 = ,求m的值;
(3)如圖2,在(2)條件下,將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′,旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<90°),連接E′A、E′B,求E′A+ E′B的最小值.
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