【題目】如圖,D為等邊△ABC的邊AC上一點(diǎn),E為直線AB上一點(diǎn),CD=BE.

(1)如圖1,求證;AD=DE;

(2)如圖2,DE交CB于點(diǎn)P.

①若DE⊥AC,PC=6,求BP的長;

②猜想PD與PE之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)證明見解析;(2)①BP=3;②PD=PE,理由見解析.

【解析】

(1)只要證明ADE是等邊三角形即可;
(2)①利用直角三角形30度角性質(zhì)即可解決問題;②過點(diǎn)DDQABBC于點(diǎn)Q,只要證明CDQ是等邊三角形,DQP≌△EBP(AAS)即可解決問題.

(1)∵△ABC是等邊三角形,

∴AB=AC,∠A=60°,

∵CD=BE,

∴AB-BE=AC-CD,即AD=AE,

∵∠A=60°,

∴△ADE是等邊三角形.

∴AD=DE.

(2)①∵DE⊥AC,∠A=60°,

∴∠E=30°,

∵∠ABC=60°,

∴∠E=∠BPE=30°=∠CPD,

∴BP=BE,CD=PC=3,

∵CD=BE,

∴BP=BE=3.

②PD=PE,理由如下:

如圖2,過點(diǎn)D作DQ∥AB,交BC于點(diǎn)Q,

∴∠CDQ=∠A=60°,∠CQD=∠ABC=60°,∠DQP=∠EBP,

∴△DCQ是等邊三角形,

∴DQ=CD=BE.

∵∠DPQ=∠EPB,∠DQP=∠EBP,

∴△DQP≌△EBP,

∴PD=PE.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(3)在直線AB上方的拋物線l上,是否存在一點(diǎn)P,使直線AB平分∠PBC?
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