Question

如圖，F(xiàn)為正方形ABCD的對角線AC上一點，F(xiàn)E⊥AD于點E，M為CF的中點．
（1）求證：MB=MD；
（2）求證：ME=MB．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)及SAS定理可直接求出△BCM≌△DCM，利用全等三角形的性質(zhì)求解即可；
（2）取DE的中點N，連接MN，根據(jù)梯形的中位線定理可求出MN∥CD，MN⊥DE，可求出MN是線段DE的垂直平分線，即△DEM是等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)即可解答．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCM=∠DCM，（1分）
又MC=MC，∴△BCM≌△DCM，
∴MB=MD；（4分）

（2）在直角梯形DEFC中，CD∥FE，
取DE的中點N，連接MN，
∵M為CF的中點，∴MN∥CD，（6分）
又CD⊥DE，∴MN⊥DE，
∴MN是線段DE的垂直平分線，
∴MD=ME，（7分）
由（1）知，MB=MD，∴ME=MB．（8分）
點評：此題比較簡單，考查的是正方形的性質(zhì)及等腰三角形的判定定理，解答此題的關鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角梯形的中位線求解．