Question

如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AC向點(diǎn)C以1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．連結(jié)PQ，M為線段PQ的中點(diǎn)，則在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，M點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡

專題：壓軸題

分析：先以C為原點(diǎn)，以AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意知0≤t≤3，求得t=0及t=3時(shí)M的坐標(biāo)，得到直線M₁M₂的解析式為y=-2x+8．過(guò)點(diǎn)M₂作M₂N⊥x軸于點(diǎn)N，則M₂N=3，M₁N=

3

2

，M₁M₂=

3 5

2

，線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為

3 5

2

個(gè)單位長(zhǎng)度．

解答：解：以C為原點(diǎn)，以AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

依題意，可知0≤t≤3，當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)M₁的坐標(biāo)為（4，0）；
當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)M₂的坐標(biāo)為（

5

2

，3），設(shè)直線M₁M₂的解析式為y=kx+b，
∴

4k+b=0 5 2 k+b=3

，
解得：

k=-2 b=8

，
∴直線M₁M₂的解析式為y=-2x+8．
∵點(diǎn)Q（0，2t），P（8-t，0），
∴在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段PQ中點(diǎn)M₃的坐標(biāo)為（

8-t

2

，t），
把x=

6-t

2

，代入y=-2x+8，得y=-2×

8-t

2

+8=t，
∴點(diǎn)M₃在M₁M₂直線上，
過(guò)點(diǎn)M₂作M₂N⊥x軸于點(diǎn)N，則M₂N=3，M₁N=

3

2

，
∴M₁M₂=

3 5

2

，
∴線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為

3 5

2

單位長(zhǎng)度．
故答案為：

3 5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用．用到解二元一次方程組以及勾股定理，綜合性較強(qiáng)．