Question

如圖：已知AB=10，點(diǎn)C、D在線段AB上且AC=DB=2；P是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作正方形APEF和正方形PBGH，點(diǎn)O₁和O₂是這兩個(gè)正方形的中心，連接O₁O₂，設(shè)O₁O₂的中點(diǎn)為Q；當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，則點(diǎn)Q移動(dòng)路徑的長(zhǎng)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡

專題：壓軸題

分析：分別延長(zhǎng)AO₁、BO₂交于點(diǎn)K，易證四邊形O₁PO₂K為平行四邊形，得出Q為PK中點(diǎn)，則Q的運(yùn)行軌跡為三角形KAB的中位線MN．運(yùn)用中位線的性質(zhì)求出MN的長(zhǎng)度即可．

解答：解：如圖，分別延長(zhǎng)AO₁、BO₂交于點(diǎn)K，

∵∠KAP=∠O₂PB=45°，
∴AK∥PO₂，
∵∠KBA=∠O₁PA=60°，
∴BK∥PO₁，
∴四邊形O₁PO₂K為平行四邊形，
∴O₁O₂與KP互相平分．
∵Q為O₁O₂的中點(diǎn)，
∴Q正好為PK中點(diǎn)，即在P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，Q始終為PK的中點(diǎn)，所以Q的運(yùn)行軌跡為三角形KAB的中位線MN．
∵AB=10，
∴MN=5，即Q的移動(dòng)路徑長(zhǎng)為5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形及中位線的性質(zhì)，以及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，是中考的熱點(diǎn)．