【題目】已知:為直線 上的一點(diǎn),以為觀察中心,射線表示正北方向,表示正東方向(即),射線,射線的方向如各圖所示.
(1)如圖1所示,當(dāng) 時:
①若,則射線的方向是 .
② 與 的關(guān)系為 ,
③ 與 的關(guān)系為 .
(2)若將射線,射線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至圖的位置,另一條射線恰好平分,旋轉(zhuǎn)中始終保持.
①若,則 度 .
②若,則 (用含 的代數(shù)式表示).
(3)若將射線,射線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至圖的位置,射線仍然平分,旋轉(zhuǎn)中始終保持,則與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1)①北偏東20°;②相等;③互補(bǔ).(2)①24°;②2β.(3)∠CON=2∠AOF,理由見解析.
【解析】
(1)①根據(jù)方向角的定義即可求解;②根據(jù)同角的余角相等即可得出結(jié)論;③先根據(jù)同角的余角相等得出∠EON=∠BOC,再根據(jù)兩角互補(bǔ)的定義即可得出結(jié)果.
(2)①根據(jù)同角的余角可知∠AOC=∠MOE,又根據(jù)角平分線的定義可得∠COF=∠MOF,兩式相減即可得出結(jié)果.②由①知∠AOF=∠EOF=β,又由∠CON=∠AOE即可得出結(jié)果.
(3)根據(jù)角的和差,以及角平分線的定義即可求解.
解:(1)①北偏東20°
②∵由題意知,∠AOE+∠EON=90°,∠NOC+∠EON=90°,
∴∠AOE=∠CON.
③由題意知,∠BOC+∠NOC=90°,∠NOC+∠EON=90°,
∴∠BOC=∠EON,
又∠AOC+∠BOC=180°,
∴∠AOC+∠EON=180°.
故答案為:①北偏東20°;②相等;③互補(bǔ).
(2)①由題意知,∠AOC+∠AOE=90°,∠MOE+∠AOE=90°,
∴∠AOC=∠MOE,
又OF為∠COM的角平分線,
∴∠COF=∠MOF,
∴∠COF-∠AOC =∠MOF-∠MOE,
∴∠AOF=∠EOF=24°.
②由①知,∠AOF=∠EOF=β,
∴∠CON=∠AOE=2∠AOF=2β.
故答案為:①24°;②2β.
(3)∵∠CON=180°-∠COM=180°-2∠MOF.
又∠AOF=90°-∠MOF,∴2∠AOF=180°-2∠MOF.
∴∠CON=2∠AOF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】發(fā)現(xiàn)來源于探究。小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動,作邊長為a的正方形ABCD和邊長邊b的正方形AEFG(a>b),開始時點(diǎn)E在AB上,如圖1,將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)。
(1)如圖2,小亮將正方形AEFG繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn),連接BE、DG,請證明:△ADG≌△ABE;
(2)如圖3,小亮將正方形AEFG繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn),連接BE、DG,當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線段BE上,且a=3,b=2時,請你幫他求此時DG的長。
(3)如圖4,小亮旋轉(zhuǎn)正方形AEFG,當(dāng)點(diǎn)E在DA的延長線上時,連接BF、DF,若FG平分∠BFD,請你幫他求a:b的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解學(xué)生課余活動情況,某班對參加A組:繪畫;B組:書法;C組:舞蹈;D組:樂器;這四個課外興趣小組的人員分布情況進(jìn)行抽樣調(diào)查,并根據(jù)收集的數(shù)據(jù)繪制了如圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖中提供信息,解答下面的問題:
(1)此次共調(diào)查了多少名同學(xué)?
(2)將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整,
(3)計算扇形統(tǒng)計圖中書法部分的圓心角的度數(shù);
(4)已知在此次調(diào)查中,參加D組的5名學(xué)生中有3名女生和2名男生,要從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加市舉辦的音樂賽,用列表法或畫樹狀圖的方法求出抽取的2名學(xué)生恰好是1男1女的概率。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,△ABC為等腰直角三角形,∠ACB=90,F是AC邊上的一個動點(diǎn)(點(diǎn)F與A. C不重合),以CF為一邊在等腰直角三角形外作正方形CDEF,連接BF、AD.
(1)猜想圖1中線段BF、AD的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系,直接寫出結(jié)論;
(2)將圖1中的正方形CDEF,繞著點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)任意角度α,得到如圖2的情形。圖2中BF交AC于點(diǎn)H,交AD于點(diǎn)O,請你判斷(1)中得到的結(jié)論是否仍然成立,并證明你的判斷。
(3)將原題中的等腰直角三角形ABC改為直角三角形ABC,∠ACB=90,正方形CDEF改為矩形CDEF,如圖3,且AC=4,BC=3,CD=,CF=1,BF交AC于點(diǎn)H,交AD于點(diǎn)O,連接BD、AF,求BD2+AF2的值。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一副三角尺(分別含45°,45°,90°和30°,60°,90°)按如圖所示擺放在量角器上,邊PD與量角器0°刻度線重合,邊AP與量角器180°刻度線重合,將三角尺ABP繞量角器中心點(diǎn)P以每秒10°的速度順時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)邊PB與0°刻度線重合時停止運(yùn)動,設(shè)三角尺ABP的運(yùn)動時間為t.
(1)當(dāng)t=5時,邊PB經(jīng)過的量角器刻度線對應(yīng)的度數(shù)是 度:
(2)若在三角尺ABP開始旋轉(zhuǎn)的同時,三角尺PCD也繞點(diǎn)P以每秒2°的速度逆時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)三角尺ABP停止旋轉(zhuǎn)時,三角尺PCD也停止旋轉(zhuǎn).
①當(dāng)t為何值時,邊PB平分∠CPD;
②在旋轉(zhuǎn)過程中,是否存在某一時刻使∠BPD=2∠APC,若存在,請直接寫出t的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)讀讀做做:平行線是平面幾何中最基本、也是非常重要的圖形.在解決某些平面幾何問題時,若能依據(jù)問題的需要,添加恰當(dāng)?shù)钠叫芯,往往能使證明順暢、簡潔.請根據(jù)上述思想解決教材中的問題:如圖①,AB∥CD,則∠B+∠D ∠E(用“>”、“=”或“<”填空);
(2)倒過來想:寫出(1)中命題的逆命題,判斷逆命題的真假并說明理由.
(3)靈活應(yīng)用:如圖②,已知AB∥CD,在∠ACD的平分線上取兩個點(diǎn)M、N,使得∠AMN=∠ANM,求證:∠CAM=∠BAN.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“2019寧波國際山地馬拉松賽”于2019年3月31日在江北區(qū)舉行,小林參加了環(huán)繞湖8km的迷你馬拉松項(xiàng)目(如圖1),上午8:00起跑,賽道上距離起點(diǎn)5km處會設(shè)置飲水補(bǔ)給站,在比賽中,小林勻速前行,他距離終點(diǎn)的路程s(km)與跑步的時間t(h)的函數(shù)圖象的一部分如圖2所示
(1)求小林從起點(diǎn)跑向飲水補(bǔ)給站的過程中與t的函數(shù)表達(dá)式
(2)求小林跑步的速度,以及圖2中a的值
(3)當(dāng)跑到飲水補(bǔ)給站時,小林覺得自己跑得太悠閑了,他想挑戰(zhàn)自己在上午8:55之前跑到終點(diǎn),那么接下來一段路程他的速度至少應(yīng)為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】王老師為了了解學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的糾錯情況,收集整理了學(xué)生在作業(yè)和考試中的常見錯誤,編制了10道選擇題,每題3分,對他所教的八年級(5)班和八年級(6)班進(jìn)行了檢測.并從兩班各隨機(jī)抽取10名學(xué)生的得分繪制成下列兩個統(tǒng)計圖.根據(jù)以上信息,整理分析數(shù)據(jù)如下:
班級 | 平均分(分) | 中位數(shù)(分) | 眾數(shù)(分) |
八年級(5)班 | a | 24 | 24 |
八年級(6)班 | 24 | b | c |
(1)求出表格中a,b,c的值;
(2)你認(rèn)為哪個班的學(xué)生糾錯得分情況比較整齊一些,通過計算說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,點(diǎn)E是正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn)(不與C、D重合),連接AE,過點(diǎn)A作AF⊥AE交CB的延長線于點(diǎn)F
(1)求證:AE=AF;
(2)連接EF,N為EF之中點(diǎn),連接BN,求的值;
(3)以BF為邊作正方形BFMH,如圖2,CH與AF相交于點(diǎn)Q,當(dāng)E在CD上運(yùn)動(不與C、D重合),問∠CQD的大小是否發(fā)生變化?若不變,求其值;若變化,請指出其范圍.
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