Question

【題目】A為⊙C上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作弦AB，取弦AB上一點(diǎn)P，若滿足≤<1，則稱P為點(diǎn)A關(guān)于⊙C的黃金點(diǎn)．已知⊙C的半徑為3，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．

(1)當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0）時，

①在點(diǎn)D（3，0），E（4，1），F（7，0）中，點(diǎn)A關(guān)于⊙C的黃金點(diǎn)是 ；

②直線上存在點(diǎn)A關(guān)于⊙C的黃金點(diǎn)P，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍；

(2)若y軸上存在點(diǎn)A關(guān)于⊙C的黃金點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)C橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①D（3,0），E（4, 1）；②≤x＜；（2）-2≤x＜3.

【解析】

（1）①如圖1，根據(jù)題意畫出圖形，由圖結(jié)合已知條件分析即可得出結(jié)論；

②根據(jù)題意畫出符合要求的圖形如圖2所示，設(shè)直線與以（2,0）為圓心，1為半徑的圓交于點(diǎn)P1，與⊙C交于點(diǎn)P2 .則易得，，由此可知，求出點(diǎn)P1和P2的橫坐標(biāo)即可得到所求答案了；

（2）由⊙C的半徑為3可知點(diǎn)C在以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓上，由y軸上存在點(diǎn)A關(guān)于⊙C的黃金點(diǎn)可知，點(diǎn)C到y軸的距離不能超過3，由此畫出符合題意的圖3，根據(jù)圖3即可求得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍了.

（1）①如圖1，過點(diǎn)C作CP⊥AB于點(diǎn)P，

∴AP=AB，

∵AE>AP，AE<AB，

∴，

∴點(diǎn)E是點(diǎn)A關(guān)于⊙C的黃金點(diǎn)；

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（7，0），

∴可得AF=6，AD=2，

∴，，

∴點(diǎn)D是點(diǎn)A關(guān)于⊙C的黃金點(diǎn)，點(diǎn)F不是點(diǎn)A關(guān)于⊙C的黃金點(diǎn)；

∴D、E、F三點(diǎn)中點(diǎn)D和點(diǎn)E是點(diǎn)A關(guān)于⊙C的黃金點(diǎn)；

②∵在直線中，當(dāng)x=1時，y=0，

∴直線過A（1,0），且與x軸正方向夾角為30°，

如圖時所示：設(shè)直線與以（2，0）為圓心，1為半徑的圓交于點(diǎn)P1，與⊙C交于點(diǎn)P2 ，連接P1N，過P1作P1N⊥x軸于點(diǎn)E，

則∠AP1N=90°，AN=2，∠NAP1=30°，

∴AP1=AN·cos30°=，

∴AE=AP1·cos30°=，

∴OE=OA+AE=，

∴P1=，

同理可得：P2=.

∴≤x＜.

（2）如圖3所示：

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），⊙C的的半徑為3，且點(diǎn)A在⊙C上，

∴點(diǎn)C只能在以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓上，

又∵在y軸上存在點(diǎn)A關(guān)于⊙C的的黃金點(diǎn)，

∴⊙C和y軸有公共點(diǎn)，

又∵⊙C的半徑為3，

∴點(diǎn)C只能在直線x=3和直線x=-3之間（包括兩條直線上），

∴如下圖所示，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍是-2≤x＜3.