Question

如圖，點P在正方形ABCD內(nèi)，△PBC是正三角形，BD和PC相交于點E．給出下列結(jié)論：
①∠PBD=15°；
②△PDE為等腰三角形；
③△PDE∽△PCD；
④△PBD、正方形ABCD的面積分別為S₁，S，若S=4，則S₁=1．
其中正確的是

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定,等邊三角形的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出∠PCB=60°，PC=BC，∠PBC=60°，根據(jù)正方形性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)求出∠DBC=45°，即可判斷①；
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)求出∠DPC=∠PDC=75°，即可判斷②；
根據(jù)三角形相似的判定即可判斷③；
根據(jù)三角形的面積求出△PBC，△DPC，△DBC的面積，即可判斷④．

解答：解：∵△PBC是等邊三角形，
∴∠PCB=60°，PC=BC，∠PBC=60°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠DCB=90°，
∴∠DBC=45°，
∴∠PBD=60°-45°=15°，∴①正確；
∵∠DCB=90°，∠PCB=60°，
∴∠DCP=90°-60°=30°，
∵BC=PC，BC=CD，
∴PC=DC，
∴∠CPD=∠PDC=

1

2

（180°-30°）=75°，
∵∠DCP=30°，∠BDC=45°，
∴∠DEP=45°+30°=75°=∠DPC，
∴DP=DE，
∴△PDE為等腰三角形，∴②正確；
∵∠DPC=∠DPC，∠DEP=∠PDC=75°，
∴△PDE∽△DCP，∴③正確；
過P作PN⊥CD，PM⊥BC，
則∠PNC=∠PMC=90°，
∵正方形ABCD的面積是4，
∴BC=DC=2，
∵PC=BC，
∴PC=2，
∵∠DCP=30°，∠PNC=90°，
∴PN=

1

2

PC=1，PM=PC×sin60°=2×

3

2

=

3

，
∴S₁=S_△PBD
=S_△PBC+S_△PDC-S_△DBC
=

1

2

×2×

3

+

1

2

×2×1-

1

2

×2×2=

3

-1，∴④錯誤；
故答案為：①②③．

點評：本題考查了正方形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，三角形面積，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的判定等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目是一道中等題．