Question

14．如圖1，邊長為a的正方形發(fā)生形變后成為邊長為a的菱形，如果這個菱形的一組對邊之間的距離為h，我們把a與h的比值叫做這個菱形的“形變度”．
（1）當形變后的菱形有一個內(nèi)角是30°時，這個菱形的“形變度”為k=2；
（2）如圖2，菱形ABCD的“形變度”為$\sqrt{3}$，點E、F、G、H分別是菱形ABCD各邊的中點，求四邊形EFGH形變前與形變后的面積之比；
（3）如圖3，正方形ABCD由16個邊長為1的小正方形組成，形變后成為菱形A'B'C'D'，△AEF（E，F(xiàn)是小正方形的頂點）同時形變?yōu)椤鰽'E'F'，設(shè)這個菱形的“形變度”為k，判斷△A′E′F′的面積S與k是否為反比例函數(shù)關(guān)系，并說明理由；當$\frac{A'C'}{B'D'}=\frac{6}{5}$時，求k的值．

Answer 1

分析 （1）用“形變度”的定義直接計算即可；
（2）先求出形變前四邊形的面積，再求出形變后面積，即可；
（3）先確定出S與t的函數(shù)關(guān)系式，用形變度和菱形的面積求解即可．

解答 解：（1）由題意得，sin30°=$\frac{h}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{a}{h}$=2；                                            
故答案為2，
（2）設(shè)四邊形ABCD的邊長為a，
∵點E、F、G、H分別是菱形ABCD各邊的中點，
∴四邊形EFGH形變前的面積為$\frac{1}{2}$a²，
∵四邊形EFGH形變后為矩形，且HE=$\frac{1}{2}$BD，EF=$\frac{1}{2}$AC（三角形中位線性質(zhì)），
∴S_矩形EFGH=$\frac{1}{2}$BD×$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$ah，
∴四邊形EFGH形變前與形變后的面積之比為$\frac{a}{h}$=$\sqrt{3}$；              
（3）S是k的反比例函數(shù)．
理由：如圖，過D′作D′G⊥A′B′，垂足為G，
則$\frac{A'D'}{D'G}=k$
∵A′B′=B′C′=C′D′=A′D′=4，
∴D'G=$\frac{4}{k}$，
∴S=$\frac{1}{4}$S_菱形ABCD=$\frac{1}{4}$×$\frac{16}{k}$=$\frac{4}{k}$，
∴S是k的反比例函數(shù)．                                          
當 $\frac{A'C'}{B'D'}=\frac{6}{5}$時，$\frac{\frac{1}{2}A'C'}{\frac{1}{2}B'D'}=\frac{6}{5}$，
∴$\frac{A'O}{D'O}=\frac{6}{5}$
設(shè)D′O=5t，則A′O=6t，
∴（5t）²+（6t）²=16，
∴t²=$\frac{16}{61}$，
∴S_菱形ABCD=$\frac{16}{k}$，
∴$\frac{1}{2}$A'C'×B'D'=$\frac{16}{k}$，
∴$\frac{1}{2}$×10t×12t=$\frac{16}{k}$，
即60t²=$\frac{16}{k}$，
∴k=$\frac{61}{60}$．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了新定義，圖形形變前后的圖形的形狀，面積的計算，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是理解新定義．