【題目】如圖,經(jīng)過點(diǎn)A(6,0)的直線y=kx﹣3與直線y=﹣x交于點(diǎn)B,點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng).
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)△OPB是直角三角形時(shí),求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間;
(3)當(dāng)BP平分△OAB的面積時(shí),直線BP與y軸交于點(diǎn)D,求線段BD的長.
【答案】(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)(2,-2);(2)當(dāng)△OPB是直角三角形時(shí),求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2秒或4秒;(3)當(dāng)BP平分△OAB的面積時(shí),線段BD的長為2.
【解析】
(1)根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式,聯(lián)立直線AB及OB的解析式成方程組,通過解方程組可求出點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)由∠BOP=45°可得出∠OPB=90°或∠OBP=90°,①當(dāng)∠OPB=90°時(shí),△OPB為等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出OP的長,結(jié)合點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度可求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間;②當(dāng)∠OBP=90°時(shí),△OPB為等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出OP的長,結(jié)合點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度可求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.綜上,此問得解;
(3)由BP平分△OAB的面積可得出OP=AP,進(jìn)而可得出點(diǎn)P的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)B,P的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求出直線BP的解析式,利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)D的坐標(biāo),過點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E,利用勾股定理即可求出BD的長.
(1)直線y=kx﹣3過點(diǎn)A(6,0),
所以,0=6k-3,解得:k=,
直線AB為:-3,
,解得:,
所以,點(diǎn)B的坐標(biāo)(2,-2)
(2)∵∠BOP=45°,△OPB是直角三角形,
∴∠OPB=90°或∠OBP=90°,如圖1所示:
①當(dāng)∠OPB=90°時(shí),△OPB為等腰直角三角形,
∴OP=BP=2,
又∵點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),
∴此時(shí)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒;
②當(dāng)∠OBP=90°時(shí),△OPB為等腰直角三角形,
∴OP=2BP=4,
又∵點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),
∴此時(shí)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4秒.
綜上,當(dāng)△OPB是直角三角形時(shí),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒或4秒.
(3)∵BP平分△OAB的面積,
∴S△OBP=S△ABP,
∴OP=AP,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,0).
設(shè)直線BP的解析式為y=ax+b(a≠0),
將B(2,-2),點(diǎn)P(3,0)代入y=ax+b,得:
,
解得:,
∴直線BP的解析式為y=2x-6.
當(dāng)x=0時(shí),y=2x-6=-6,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-6).
過點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E,如圖2所示.
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,-2),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-6),
∴BE=2,CE=4,
∴BD==2,
∴當(dāng)BP平分△OAB的面積時(shí),線段BD的長為2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)B(-2,0),點(diǎn)C(8,0),與y軸交于點(diǎn)A.
(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+4的表達(dá)式;
(2)連接AC,AB,若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)B,C重合),過點(diǎn)N作NM∥AC,交AB于點(diǎn)M,當(dāng)△AMN面積最大時(shí),求N點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)連接OM,在(2)的結(jié)論下,求OM與AC的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公園的門票價(jià)格如下表所示:
購票人數(shù) | 1~50人 | 51~100人 | 100人以上 |
每人門票價(jià) | 20元 | 17元 | 14元 |
某校初一(1)(2)兩個(gè)班去游覽公園,其中(1)班人數(shù)較少,不足50人,(2)班人數(shù)較多,超過50人,但是不超過100人.如果兩個(gè)班都以班為單位分別購票,則一共應(yīng)付1912元;如果兩個(gè)班聯(lián)合起來,作為個(gè)團(tuán)體購票,則只需付1456元
(1)列方程或方程組求出兩個(gè)班各有多少學(xué)生?
(2)若(1)班全員參加,(2)班有20人不參加此次活動(dòng),請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種最省錢方式來幫他們買票,并說明理由.
(3)你認(rèn)為是否存在這樣的可能:51到100人之間買票的錢數(shù)與100人以上買票的錢數(shù)相等?如果有,是多少人與多少人買票錢數(shù)相等?(直接寫結(jié)果)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一段拋物線:y=﹣x(x﹣5)(0≤x≤5),記為C1,它與x軸交于點(diǎn)O,A1;將C1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180°得C2,交x軸于點(diǎn)A2;將C2繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180°得C3,交x軸于點(diǎn)A3;…如此進(jìn)行下去,得到一“波浪線”,若點(diǎn)P(2018,m)在此“波浪線”上,則m的值為( )
A. 4 B. ﹣4 C. ﹣6 D. 6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)E,F在菱形ABCD的對(duì)邊上,AE⊥BC.∠1=∠2.
(1)判斷四邊形AECF的形狀,并證明你的結(jié)論.
(2)若AE=4,AF=2,試求菱形ABCD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某服裝店用6000元購進(jìn)A,B兩種新式服裝,按標(biāo)價(jià)售出后可獲得毛利潤3800元(毛利潤=售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)),這兩種服裝的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)如下表所示:
類型 價(jià)格 | A型 | B型 |
進(jìn)價(jià)(元/件) | 60 | 100 |
標(biāo)價(jià)(元/件) | 100 | 160 |
(1)求這兩種服裝各購進(jìn)的件數(shù);
(2)如果A中服裝按標(biāo)價(jià)的8折出售,B中服裝按標(biāo)價(jià)的7折出售,那么這批服裝全部售完后,服裝店比按標(biāo)價(jià)售出少收入多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,下列結(jié)論中不正確的是( )
A. 當(dāng)AB=BC時(shí),它是菱形 B. 當(dāng)AC⊥BD時(shí),它是菱形
C. 當(dāng)∠ABC=90°時(shí),它是矩形 D. 當(dāng)AC=BD時(shí),它是正方形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了調(diào)查學(xué)生書寫規(guī)范漢字的能力,從七年級(jí)1000名學(xué)生中隨機(jī)抽選了部分學(xué)生參加測(cè)試,并根據(jù)測(cè)試成績繪制了如下頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖(尚不完整)
組別 | 成績x分 | 頻數(shù)(人數(shù)) |
第1組 | x<60 | 4 |
第2組 | 60≤x<70 | a |
第3組 | 70≤x<80 | 20 |
第4組 | 80≤x<90 | b |
第5組 | 90≤x<100 | 10 |
請(qǐng)結(jié)合圖表完成下列各題
(1)填空:表中a的值為_______,b的值為_______,扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示第1組所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為_______.
(2)若測(cè)試成績不低于80分為優(yōu)秀,請(qǐng)你估計(jì)從該校七年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽查一個(gè)學(xué)生,他是規(guī)范漢字書寫優(yōu)秀的概率是_______;
(3)若測(cè)試成績?cè)?/span>60~80分之間(含60分,不含80分)為合格,請(qǐng)你估計(jì)則該校七年級(jí)學(xué)生規(guī)范漢字書寫不合格的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(0<t≤15).過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F,連接DE,EF.
(1)求證:AE=DF;
(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎?如果能,求出相應(yīng)的t值,如果不能,說明理由;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),△DEF為直角三角形?請(qǐng)說明理由.
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