【題目】△ABC中,點(diǎn)O是AC上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)O作直線MN∥BC,若MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠DCA的平分線于點(diǎn)F,連接AE、AF.
⑴說明:OE=OF
⑵當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形AECF是矩形,證明你的結(jié)論
⑶在⑵的條件下,當(dāng)⊿ABC滿足什么條件時(shí),四邊形AECF為正方形.
【答案】(1)證明見解析;(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí),證明見解析;(3)△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時(shí),證明見解析.
【解析】
(1)利用平行線的特殊性質(zhì),內(nèi)錯(cuò)角相等,以及角平分線的性質(zhì),等量代換,最后求出;
(2)先證明平行四邊形,再證明對(duì)角線相等,推出四邊形為矩形;
(3)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí),且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時(shí),四邊形AECF是正方形.
(1)∵M(jìn)N∥BC,
∴,,
又已知CE平分∠BCO,CF平分∠DCO,
∴,,
∴,,
∴,,
∴
(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形.
∵當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí),,
又∵,
∴四邊形AECF是平行四邊形,
∵,
∴,
∴,即,
∴四邊形AECF是矩形;
(3)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí),且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時(shí),四邊形AECF是正方形.
∵由(2)知,當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形,
已知MN∥BC,當(dāng),則
,
∴AC⊥EF,
∴四邊形AECF是正方形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=50,AC=30,D,E,F分別是AC,AB,BC的中點(diǎn).點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿折線DE-EF-FC-CD以每秒7個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng);點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)Q作射線QK⊥AB,交折線BC-CA于點(diǎn)G.點(diǎn)P,Q同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)P繞行一周回到點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q也隨之停止.設(shè)點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t>0).
(1)D,F兩點(diǎn)間的距離是 ;
(2)射線QK能否把四邊形CDEF分成面積相等的兩部分?若能,求出t的值.若不能,說明理由;
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到折線EF-FC上,且點(diǎn)P又恰好落在射線QK上時(shí),求t的值;
(4)連結(jié)PG,當(dāng)PG∥AB時(shí),請(qǐng)直接寫出t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽編撰的最早一部測(cè)量數(shù)學(xué)著作《海島算經(jīng)》中有一題:今有望海島,立兩表齊高三丈,前后相去千步,令后表與前表參相直.從前表卻行一百二十三步,人目著地,取望島峰,與表末參合.從后表卻行一百二十七步,人目著地,取望島峰,亦與表末參合.問島高幾何?
譯文:今要測(cè)量海島上一座山峰AH的高度,在B處和D處樹立標(biāo)桿BC和DE,標(biāo)桿的高都是3丈,B和D兩處相隔1000步(1丈=10尺,1步=6尺),并且AH,CB和DE在同一平面內(nèi).從標(biāo)桿BC后退123步的F處可以看到頂峰A和標(biāo)桿頂端C在同一直線上;從標(biāo)桿ED后退127步的G處可以看到頂峰A和標(biāo)桿頂端E在同一直線上.則山峰AH的高度是_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一元二次方程x2+kx﹣3=0的一個(gè)根是x=1,則另一個(gè)根是___.
【答案】-3.
【解析】
解:∵x=1是一元二次方程的根,∴12+k×1-3=0,∴k=2,∴x2+2x-3=0,∴(x+3)(x-1)=0,∴x1=-3,x2=1.故答案為:-3.
【題型】填空題
【結(jié)束】
19
【題目】如圖,在△ABC中,AB=8,AC=6,AD=12,點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上,且△ACD∽△BAD,求BD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校統(tǒng)籌安排大課間體育活動(dòng),在各班隨機(jī)選取了一部分學(xué)生,分成四類活動(dòng):“跳繩”、“羽毛球”、“乒乓球”、“其他”進(jìn)行調(diào)查,整理收集到的數(shù)據(jù),繪制成如圖的兩幅統(tǒng)計(jì)圖.
(1)學(xué)校采用的調(diào)查方式是 ;學(xué)校在各班隨機(jī)選取了 名學(xué)生;
(2)補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù):羽毛球 人、乒乓球 人、其他 %;
(3)該校共有900名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)喜歡“跳繩”的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A(0,6),B(6,0),C(﹣2,0),點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△PAB的面積有最大值?
(3)過點(diǎn)P作x軸的垂線,交線段AB于點(diǎn)D,再過點(diǎn)P做PE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E,連結(jié)DE,請(qǐng)問是否存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(﹣2,3)、B(﹣6,0)、C(﹣1,0).
(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 ;
(2)將△ABC平移,使點(diǎn)B移動(dòng)后的坐標(biāo)為B′(﹣5,﹣5),畫出平移后的圖形△A′B′C′;
(3)將△ABC繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形△A″B″C″.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,將直角梯形放在平面直角坐標(biāo)系中,已知,點(diǎn)在上,且,連結(jié).
(1)求證:;
(2)如圖②,過點(diǎn)作軸于,點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng),連結(jié)和.
①當(dāng)的周長(zhǎng)最短時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);
②如果點(diǎn)在軸上方,且滿足,求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】市射擊隊(duì)為從甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員中選拔一人參加省比賽,對(duì)他們進(jìn)行了六次測(cè)試,測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤恚▎挝唬涵h(huán)):
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | 第六次 | |
甲 | 10 | 8 | 9 | 8 | 10 | 9 |
乙 | 10 | 7 | 10 | 10 | 9 | 8 |
(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),分別計(jì)算甲、乙的平均成績(jī);
(2)分別計(jì)算甲、乙六次測(cè)試成績(jī)的方差;
(3)根據(jù)(1)、(2)計(jì)算的結(jié)果,你認(rèn)為推薦誰(shuí)參加省比賽更合適,請(qǐng)說明理由.
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