【題目】如圖,在RtABC中,∠C90°AB50,AC30,D,E,F分別是AC,AB,BC的中點(diǎn).點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿折線DEEFFCCD以每秒7個(gè)單位長的速度勻速運(yùn)動;點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向以每秒4個(gè)單位長的速度勻速運(yùn)動,過點(diǎn)Q作射線QKAB,交折線BCCA于點(diǎn)G.點(diǎn)P,Q同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)P繞行一周回到點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動,點(diǎn)Q也隨之停止.設(shè)點(diǎn)P,Q運(yùn)動的時(shí)間是t秒(t>0).

1DF兩點(diǎn)間的距離是 ;

2)射線QK能否把四邊形CDEF分成面積相等的兩部分?若能,求出t的值.若不能,說明理由;

3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到折線EFFC上,且點(diǎn)P又恰好落在射線QK上時(shí),求t的值;

4)連結(jié)PG,當(dāng)PGAB時(shí),請直接寫出t的值.

【答案】125;(2)能,t=;(3;(4

【解析】

1)根據(jù)中位線的性質(zhì)求解即可;

2)能,連結(jié),過點(diǎn)于點(diǎn),由四邊形為矩形,可知的中點(diǎn)時(shí),把矩形分為面積相等的兩部分,此時(shí),通過證明,可得,再根據(jù)即求出t的值;

3)分兩種情況:①當(dāng)點(diǎn)時(shí);②當(dāng)點(diǎn)時(shí),根據(jù)相似的性質(zhì)、線段的和差關(guān)系列出方程求解即可;

4)(注:判斷可分為以下幾種情形:當(dāng)時(shí),點(diǎn)下行,點(diǎn)上行,可知其中存在的時(shí)刻;此后,點(diǎn)繼續(xù)上行到點(diǎn)時(shí),,而點(diǎn)卻在下行到點(diǎn)再沿上行,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)上運(yùn)動時(shí)不存在;當(dāng)時(shí),點(diǎn),均在上,也不存在;由于點(diǎn)比點(diǎn)先到達(dá)點(diǎn)并繼續(xù)沿下行,所以在中存在的時(shí)刻;當(dāng)時(shí),點(diǎn),均在上,不存在

解:(1)∵D, F分別是AC, BC的中點(diǎn)

DF是△ABC的中位線

2)能.

連結(jié),過點(diǎn)于點(diǎn)

由四邊形為矩形,可知的中點(diǎn)時(shí),

把矩形分為面積相等的兩部分.

(注:可利用全等三角形借助割補(bǔ)法或用中心對稱等方法說明),

此時(shí)

FBC的中點(diǎn)

3)①當(dāng)點(diǎn)時(shí),如圖1

,,

,得

②當(dāng)點(diǎn)時(shí),如圖2

已知,從而

,,得

解得

4

(注:判斷可分為以下幾種情形:當(dāng)時(shí),點(diǎn)下行,點(diǎn)上行,可知其中存在的時(shí)刻;此后,點(diǎn)繼續(xù)上行到點(diǎn)時(shí),,而點(diǎn)卻在下行到點(diǎn)再沿上行,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)上運(yùn)動時(shí)不存在;當(dāng)時(shí),點(diǎn)均在上,也不存在;由于點(diǎn)比點(diǎn)先到達(dá)點(diǎn)并繼續(xù)沿下行,所以在中存在的時(shí)刻;當(dāng)時(shí),點(diǎn),均在上,不存在.)

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(2)若該小區(qū)至多安放48個(gè)溫馨提示牌,且費(fèi)用不超過6300元,請列舉所有購買方案,并說明理由.

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