【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,9),與y軸交于點(diǎn)A(0,5),與x軸交于點(diǎn)E、B.
(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達(dá)式;
(2)過點(diǎn)A作AC平行于x軸,交拋物線于點(diǎn)C,點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn)(點(diǎn)P在AC上方),作PD平行于y軸交AB于點(diǎn)D,問當(dāng)點(diǎn)P在何位置時(shí),四邊形APCD的面積最大?并求出最大面積;
(3)若點(diǎn)M在拋物線上,點(diǎn)N在其對(duì)稱軸上,使得以A、E、N、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,且AE為其一邊,求點(diǎn)M、N的坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣2)2+9,
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)A(0,5),
∴4a+9=5,
∴a=﹣1,
y=﹣(x﹣2)2+9=﹣x2+4x+5
(2)
解:當(dāng)y=0時(shí),﹣x2+4x+5=0,
∴x1=﹣1,x2=5,
∴E(﹣1,0),B(5,0),
設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n,
∵A(0,5),B(5,0),
∴m=﹣1,n=5,
∴直線AB的解析式為y=﹣x+5;
設(shè)P(x,﹣x2+4x+5),
∴D(x,﹣x+5),
∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x,
∵AC=4,
∴S四邊形APCD= ×AC×PD=2(﹣x2+5x)=﹣2x2+10x,
∴當(dāng)x=﹣ = 時(shí),
∴即:點(diǎn)P( , )時(shí),S四邊形APCD最大=
(3)
解:如圖,
過M作MH垂直于對(duì)稱軸,垂足為H,
∵M(jìn)N∥AE,MN=AE,
∴△HMN≌△AOE,
∴HM=OE=1,
∴M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=3或x=1,
當(dāng)x=1時(shí),M點(diǎn)縱坐標(biāo)為8,
當(dāng)x=3時(shí),M點(diǎn)縱坐標(biāo)為8,
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為M1(1,8)或M2(3,8),
∵A(0,5),E(﹣1,0),
∴直線AE解析式為y=5x+5,
∵M(jìn)N∥AE,
∴MN的解析式為y=5x+b,
∵點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸x=2上,
∴N(2,10+b),
∵AE2=OA2+OE2=26
∵M(jìn)N=AE
∴MN2=AE2,
∴MN2=(2﹣1)2+[8﹣(10+b)]2=1+(b+2)2
∵M(jìn)點(diǎn)的坐標(biāo)為M1(1,8)或M2(3,8),
∴點(diǎn)M1,M2關(guān)于拋物線對(duì)稱軸x=2對(duì)稱,
∵點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸上,
∴M1N=M2N,
∴1+(b+2)2=26,
∴b=3,或b=﹣7,
∴10+b=13或10+b=3
∴當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,8)時(shí),N點(diǎn)坐標(biāo)為(2,13),
當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,8)時(shí),N點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3)
【解析】(1)設(shè)出拋物線解析式,用待定系數(shù)法求解即可;(2)先求出直線AB解析式,設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)(x,﹣x2+4x+5),建立函數(shù)關(guān)系式S四邊形APCD=﹣2x2+10x,根據(jù)二次函數(shù)求出極值;(3)先判斷出△HMN≌△AOE,求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo),從而求出點(diǎn)M,N的坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí),掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn),以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解,了解增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)G,點(diǎn)F是CD上一點(diǎn),且滿足 ,連接AF并延長交⊙O于點(diǎn)E,連接AD、DE,若CF=3,AF=4.
(1)求證:△ADF∽△AED;
(2)求FG的長;
(3)求tan∠E的值.
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【題目】△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示.
(1)作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△ABlCl;
(2)點(diǎn)P在x軸上,且點(diǎn)P到點(diǎn)B與點(diǎn)C的距離之和最小,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)為______.
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【題目】如圖,四邊形ABCD是矩形,點(diǎn)E在CD邊上,點(diǎn)F在DC延長線上,AE=BF.
(1)求證:四邊形ABFE是平行四邊形;
(2)若∠BEF=∠DAE,AE=3,BE=4,求EF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料:
問題:如圖1,在平行四邊形ABCD中,E是AD上一點(diǎn),AE=AB,∠EAB=60°,過點(diǎn)E作直線EF,在EF上取一點(diǎn)G,使得∠EGB=∠EAB,連接AG.
求證:EG =AG+BG.
小明同學(xué)的思路是:作∠GAH=∠EAB交GE于點(diǎn)H,構(gòu)造全等三角形,經(jīng)過推理解決問題.
參考小明同學(xué)的思路,探究并解決下列問題:
(1)完成上面問題中的證明;
(2)如果將原問題中的“∠EAB=60°”改為“∠EAB=90°”,原問題中的其它條件不變(如圖2),請(qǐng)?zhí)骄烤段EG、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=90°,AB=BC=2 ,E、F分別是AD、CD的中點(diǎn),連接BE、BF、EF.若四邊形ABCD的面積為6,則△BEF的面積為( )
A.2
B.
C.
D.3
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【題目】如圖四邊形ABCD中,AD=DC,∠DAB=∠ACB=90°,過點(diǎn)D作DF⊥AC,垂足為F.DF與AB相交于E.設(shè)AB=15,BC=9,P是射線DF上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)△BCP的周長最小時(shí),DP的長為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD和正方形DEFG的頂點(diǎn)在y軸上,頂點(diǎn)D,F(xiàn)在x軸上,點(diǎn)C在DE邊上,反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象經(jīng)過B,C和邊EF的中點(diǎn)M,若S四邊形ABCD=8,則正方形DEFG的面積是( )
A.
B.
C.16
D.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,D是BC邊上一點(diǎn),以DB為直徑的⊙O經(jīng)過AB的中點(diǎn)E,交AD的延長線于點(diǎn)F,連結(jié)EF.
(1)求證:∠1=∠F.
(2)若sinB= ,EF=2 ,求CD的長.
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