Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△A′B′C，連接AB′，且A，B′，A′在同一條直線上，則AA′=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得AB=2BC=6，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得A′B′=AB=6，CB′=CB=3，CA′=CA，∠A′B′C=60°，∠A′=∠BAC=30°，則可判斷△CAA′為等腰三角形，所以∠CAA′=∠A′=30°，接著根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA，則可計(jì)算出∠B′CA=30°，所以B′A=B′C=3，然后利用AA′=AB′+A′B′進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=6，
∵△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△A′B′C，
∴A′B′=AB=6，CB′=CB=3，CA′=CA，∠A′B′C=60°，∠A′=∠BAC=30°，
∴△CAA′為等腰三角形，
∴∠CAA′=∠A′=30°，
∵∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA，
∴∠B′CA=60°-30°=30°，
∴B′A=B′C=3，
∴AA′=AB′+A′B′=3+6=9．
故答案為9．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．