Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(－1，0)，(3，0)，現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A，B分別向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度，得到A，B的對應(yīng)點(diǎn)C，D，連接AC，BD，CD.

(1)寫出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)并求出四邊形ABDC的面積；

(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)F，使得三角形DFC的面積是三角形DFB面積的2倍，若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)如圖2，點(diǎn)P是直線BD上的一個(gè)動點(diǎn)，連接PC，PO，當(dāng)點(diǎn)P在直線BD上運(yùn)動時(shí)，請直接寫出∠OPC與∠PCD，∠POB的數(shù)量關(guān)系.

Answer 1

【答案】(1)C(0，2)，D(4，2).8；（2）F(1，0)或(5，0)；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動時(shí)：∠OPC＝∠PCD＋∠POB；當(dāng)點(diǎn)P在BD延長線上運(yùn)動時(shí)：∠OPC＝∠POB－∠PCD；當(dāng)點(diǎn)P在DB延長線上運(yùn)動時(shí)：∠OPC＝∠PCD－∠POB.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)平移的規(guī)律易得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，2）；四邊形ABDC的面積=2×（3+1）=8；
（2）存在．設(shè)點(diǎn)P到AB的距離為h，則S△PAB=×AB×h，根據(jù)S△PAB=S四邊形ABDC，列方程求h的值，確定P點(diǎn)坐標(biāo)．

（3）分類討論：當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上，作PM∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)由MP∥AB得∠2=∠POB，由CD∥AB得到CD∥MF，則∠1=∠PCD，所以∠OPC=∠POB+∠PCD；同樣得到當(dāng)點(diǎn)P在線段DB的延長線上，∠OPC=∠PCD-∠POB；當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長線上，得到∠OPC=∠POB-∠PCD．

試題解析：（1）依題意，得C（0，2），D（4，2），
∴S四邊形ABDC=AB×OC=4×2=8；
（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使S△PAB=S四邊形ABDC．理由如下：
設(shè)點(diǎn)P到AB的距離為h，
S△PAB=×AB×h=2h，
由S△PAB=S四邊形ABDC，得2h=8，
解得h=4，
∴P（0，4）或（0，-4）．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上，作PM∥AB，如圖1，
∵MP∥AB，
∴∠2=∠POB，
∵CD∥AB，

∴CD∥MP，
∴∠1=∠PCD，
∴∠OPC=∠1+∠2=∠POB+∠PCD；
當(dāng)點(diǎn)P在線段DB的延長線上，作PN∥AB，如圖2，
∵PN∥AB，
∴∠NPO=∠POB，
∵CD∥AB，
∴CD∥PN，
∴∠NPC=∠FCD，
∴∠OPC=∠NPC-∠NPO=∠FCD-∠POB；
同樣得到當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長線上，得到∠OPC=∠POB-∠PCD．