Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD，BC的中點，E，F分別是線段BM，CM的中點．

（1）求證：△ABM≌△DCM；

（2）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結論；

（3）當四邊形MENF是正方形時，求AD：AB的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）菱形（3）2

【解析】

（1）根據矩形的性質得到AB=CD，∠A=∠D=90°，利用SAS定理證明△ABM≌△DCM；

（2）證明ME=MF，根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明；

（3）證明Rt△BEN≌Rt△CFN，得到∠ENB=∠FNC=45°，∠ABM=45°，得到AB=AM，計算即可．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠D=90°，

又∵M是AD的中點，∴AM=DM．

在△ABM和△DCM中，∵，∴△ABM≌△DCM；

（2）四邊形MENF是菱形．

∵E，F，N分別是BM，CM，CB的中點，∴NE∥MF，NE=MF，∴四邊形MENF是平行四邊形．

由（1）得：BM=CM，∴ME=MF，∴四邊形MENF是菱形；

（3）∵四邊形MENF是正方形，∴EN=NF，NE⊥BM，NF⊥MC，

又∵N是BC的中點，∴BN=NC，

在Rt△BEN和Rt△CFN中，

，∴Rt△BEN≌Rt△CFN，∴∠ENB=∠FNC=45°，∴∠ABM=45°，

∴AB=AM，

又∵M是AD的中點，∴AD：AB=2．