Question

小明與小亮在一起探討有關(guān)“多邊形及其內(nèi)角和”的問題，兩人互相出題考對方，小明給小亮出了這樣一道題目：“一個凸五邊形的各內(nèi)角的度數(shù)比為1：2：3：4：8，求各內(nèi)角的度數(shù)”，小亮想了想，說這道題目有問題．
（1）你認(rèn)為這道題目是否有問題？如果有問題，指出問題在哪里；如果沒有問題，請求出各內(nèi)角度數(shù)；
（2）他們經(jīng)過研究后，改變了題目中的一個數(shù)字，使這道題有了正確答案，請你也嘗試一下，換一個合適的數(shù)字，使這道題目有解，并進行解答．

Answer 1

考點：多邊形內(nèi)角與外角

專題：

分析：（1）利用凸多邊形內(nèi)角都小于180°，進而得出答案；
（2）分別分析進而得出符合題意的數(shù)字，求出即可．

解答：解：（1）因為一個凸五邊形的各內(nèi)角的度數(shù)比為1：2；3：4：8
所以可設(shè)這些分別為x°，2x°，3x°，4x°，8x°，
有x+2x+3x+4x+8x=540
18x=540
x=30
8x=240＞180
說明這不是個凸五邊形，所以有問題；

（2）如果要使它有解，且只能改變一個數(shù)的話，只能讓最后一個數(shù)字盡可能的小，
或者其它數(shù)字盡可能地大，而比例一般按由小到大的順序排列．
所以為以下幾種情況：
2：2：3：4：8； 1：3：3：4：8；1：2：4：4：8； 1：2：3：8：8；
以上這幾種情況都不行，因此只能盡可能地把最后一個變小
而最后一個為5時，求得最大角為180度，還不行，
只能讓最后一個數(shù)字為4，也就是說讓比變?yōu)?：2：3：4：4
這時有x+2x+3x+4x+4x=540
14x=540
x=

270

7

2x=

540

7

3x=

810

7

，
4x=

1080

7

，
所以這五個角依次為

270°

7

，

540°

7

，

810°

7

，

1080°

7

，

1080°

7

．

點評：此題主要考查了多邊形內(nèi)角與外角，利用多邊形內(nèi)角和定理得出是解題關(guān)鍵．