Question

已知在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，能否畫出一個(gè)圓，使它的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上？

Answer 1

考點(diǎn)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：利用反證法證明：△ABC的外接圓為⊙O，假設(shè)點(diǎn)D不在⊙O上（在⊙O外或⊙O內(nèi)），AD交⊙O于D′，連接CD′，由于∠B+∠D=180°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠B+∠AD′C≠180°，這與圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)相矛盾，由此可判斷四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上．

解答：解：能畫出一個(gè)圓，使它的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上．
△ABC的外接圓為⊙O，假設(shè)點(diǎn)D不在⊙O上（在⊙O外或⊙O內(nèi)），如圖，當(dāng)點(diǎn)D在⊙O外，AD交⊙O于D′，連接CD′，
因?yàn)椤螧+∠D=180°，而∠AD′C＞∠D，所以∠B+∠AD′C≠180°，同樣當(dāng)點(diǎn)D在⊙O內(nèi)時(shí)也得到∠B+∠AD′C≠180°這與圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)相矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，所以點(diǎn)D在⊙O上，即在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，能畫出一個(gè)圓，使它的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和判定條件．也考查了反證法．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ)．