Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長(zhǎng)是4，點(diǎn)A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段AB上來(lái)回運(yùn)動(dòng)．動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿B→C→O的方向，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)．P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（I）當(dāng)t=1時(shí)，求PQ所在直線的解析式．
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若以P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAP相似，求t的值．
（3）在P，Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若△OPQ的面積為6，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）求出t=1時(shí)，AP、CQ的長(zhǎng)度，然后寫出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b（k≠0），然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；
（2）分0＜t＜2和2＜t＜4兩種情況表示出AP、PB、BQ，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式，然后求解即可；
（3）分0＜t≤2，2＜t＜4時(shí)，表示出PB，然后根據(jù)S_△OPQ=S_梯形OPBC-S_△PBQ-S_△OCQ，列出方程求解即可；4≤t＜8時(shí)，表示出OQ，點(diǎn)P到OC的距離等于OA的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）t=1時(shí)，AP=2×1=2，BQ=1，
∵正方形OABC的邊長(zhǎng)為4，
∴CQ=BC-BQ=4-1=3，
∴點(diǎn)P（2，4），Q（4，3），
設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

2k+b=4 4k+b=3

，
解得

k=- 1 2 b=5

，
所以，直線PQ的解析式為y=-

1

2

x+5；

（2）∵點(diǎn)P的速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴點(diǎn)P從A到B的時(shí)間是4÷2=2秒，
點(diǎn)Q從B到C的時(shí)間是4÷1=4秒，
①0＜t＜2時(shí)，AP=2t，PB=4-2t，BQ=t，
∵以P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAP相似，
∴

AP

OA

=

PB

BQ

，
即

2t

4

=

4-2t

t

，
整理得，t²+4t-8=0，
解得t₁=2

3

-2，t₂=-2

3

-2（舍去），
或

AP

OA

=

BQ

PB

，
即

2t

4

=

t

4-2t

，
整理得，4-2t=2，
解得t=1，
②2＜t＜4時(shí)，AP=8-2t，PB=2t-4，BQ=t，
∵以P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAP相似，
∴

AP

OA

=

PB

BQ

，
即

8-2t

4

=

2t-4

t

，
整理得，t²=8，
解得t₁=2

2

，t₂=-2

2

（舍去），
或

AP

OA

=

BQ

PB

，
即

8-2t

4

=

t

2t-4

，
整理得，t²-5t+8=0，
△=（-5）²-4×1×8=-7＜0，
方程無(wú)解，
綜上所述，t的值為1或2

3

-2或2

2

；

（3）①0＜t≤2時(shí)，點(diǎn)P從A到B，點(diǎn)Q在BC上，
PB=4-2t，S_△OPQ=S_梯形OPBC-S_△PBQ-S_△OCQ，
=

1

2

（4-2t+4）×4-

1

2

×（4-2t）t-

1

2

×4（4-t），
=t²-4t+8，
∵△OPQ的面積為6，
∴t²-4t+8=6，
整理得t²-4t+2=0，
解得t₁=2-

2

，t₂=2+

2

（舍去），
此時(shí)，AP=2×（2-

2

）=4-2

2

，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4-2

2

，4）；
②2＜t＜4時(shí)，點(diǎn)P從B到A，點(diǎn)Q在BC上，
PB=2t-4，S_△OPQ=S_梯形OPBC-S_△PBQ-S_△OCQ，
=

1

2

（2t-4+4）×4-

1

2

×（2t-4）t-

1

2

×4（4-t），
=-t²+8t-8，
∵△OPQ的面積為6，
∴-t²+8t-8=6，
整理得t²-8t+14=0，
解得t₁=4-

2

，t₂=4+

2

（舍去），
此時(shí)，AP=8-2t=8-2（4-

2

）=2

2

，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2

2

，4）；
③4≤t＜8時(shí)，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在OC上，
OQ=4+4-t=8-t，
S_△OPQ=

1

2

×（8-t）×4=6，
解得t=5，
此時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為2×5=10，
AP=10-4×2=2，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4），
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（4-2

2

，4）或（2

2

，4）或（2，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了正方形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相似三角形的面積，三角形的面積，難點(diǎn)在于（2）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的不同分情況討論，（3）根據(jù)點(diǎn)P、Q的位置的不同分情況表示出△OPQ的面積．