Question

如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)P從A開(kāi)始沿折線AB-BC運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PD交AC于Q．
（1）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，AQ=

 

；
（2）點(diǎn)P在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)它到達(dá)何位置時(shí)，△ADQ為等腰三角形？

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),等腰三角形的判定

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）根據(jù)正方形的對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的

2

倍求出AC，再根據(jù)△APQ和△CDQ相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出

AQ

CQ

，然后求解即可；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B、C重合時(shí)，△ADQ為等腰三角形，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，AQ=AD時(shí)，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ADQ=∠CPQ，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠ADQ=∠AQD，然后求出∠CQP=∠CPQ，根據(jù)等角對(duì)等邊可得CP=CQ，然后求解即可．

解答：解：（1）∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，
∴AC=

2

AD=3

2

，
∵AB∥CD，
∴△APQ∽△CDQ，
∴

AQ

CQ

=

AP

CD

，
∵點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，
∴AP=

1

2

AB=

1

2

CD，
∴

AQ

CQ

=

1

2

，
∴AQ=

1

1+2

×3

2

=

2

，
故答案為：

2

；

（2）①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合時(shí)，Q為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴QD=QA，
此時(shí)△ADQ為等腰三角形；
②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)Q也與點(diǎn)C重合，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴DA=DQ，
此時(shí)△ADQ是等腰三角形；
③當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，且有AQ=AD時(shí)，
∵AD∥BC，
∴ADQ=∠CPQ，
∵AQ=AD，
∴∠ADQ=∠AQD，
又∵∠AQD=∠CQP（對(duì)頂角相等），
∴∠CQP=∠CPQ，
∴CQ=CP，
∵AC=3

2

，AQ=AD=3，
∴CQ=AC-AQ=3

2

-3，
∴CP=3

2

-3，
即當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上且CP=3

2

-3時(shí)，△ADQ是等腰三角形；
綜上所述，點(diǎn)P與點(diǎn)B、C重合或點(diǎn)P在BC邊上且CP=3

2

-3時(shí)，△ADQ是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于（2）根據(jù)三角形的腰長(zhǎng)的不同和正方形的性質(zhì)分情況討論．