如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0),對(duì)稱軸為直線x=﹣2.
(1)求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)D是拋物線與y軸的交點(diǎn),點(diǎn)C是拋物線上的另一點(diǎn).若以AB為一底邊的梯形ABCD的面積為9.
求此拋物線的解析式,并指出頂點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)P是(2)中拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),且以1個(gè)單位/秒的速度從此拋物線的頂點(diǎn)E向上運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
①當(dāng)t為 秒時(shí),△PAD的周長(zhǎng)最。慨(dāng)t為 秒時(shí),△PAD是以AD為腰的等腰三角形?(結(jié)果保留根號(hào))
②點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在一點(diǎn)P,使△PAD是以AD為斜邊的直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
(1) B(﹣3,0);
(2)y=x2+4x+3化為頂點(diǎn)式為y=(x+2)2﹣1,得E(﹣2,﹣1);
(3)①2;4或4﹣或4+; ②存在一點(diǎn)P,使△PAD是以AD為斜邊的直角三角形, P(﹣2,1)或(﹣2,2).
解析試題分析:(1)根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性可得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)先根據(jù)梯形ABCD的面積為9,可求c的值,再運(yùn)用待定系數(shù)法可求拋物線的解析式,轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式可求頂點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)①根據(jù)軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪問題的求法可得△PAD的周長(zhǎng)最小時(shí)t的值;根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可分三種情況求得△PAD是以AD為腰的等腰三角形時(shí)t的值;
②先證明△APN∽△PDM,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得PN的值,從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo).
試題解析:(1)由拋物線的軸對(duì)稱性及A(﹣1,0),可得B(﹣3,0);
(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交CD于點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)N,
由題意可知AB∥CD,由拋物線的軸對(duì)稱性可得CD=2DM.
∵M(jìn)N∥y軸,AB∥CD,
∴四邊形ODMN是矩形.
∴DM=ON=2,
∴CD=2×2=4.
∵A(﹣1,0),B(﹣3,0),
∴AB=2,
∵梯形ABCD的面積=(AB+CD)•OD=9,
∴OD=3,即c=3.
∴把A(﹣1,0),B(﹣3,0)代入y=ax2+bx+3得,
解得.
∴y=x2+4x+3.
將y=x2+4x+3化為頂點(diǎn)式為y=(x+2)2﹣1,得E(﹣2,﹣1);
(3)①當(dāng)t為2秒時(shí),△PAD的周長(zhǎng)最小;當(dāng)t為4或4﹣或4+秒時(shí),△PAD是以AD為腰的等腰三角形.
故答案為:2;4或4﹣或4+.
②存在.
∵∠APD=90°,∠PMD=∠PNA=90°,
∴∠DPM+∠APN=90°,∠DPM+∠PDM=90°,
∴∠PDM=∠APN,
∵∠PMD=∠ANP,
∴△APN∽△PDM,
∴,
∴,
∴PN2﹣3PN+2=0,
∴PN=1或PN=2.
∴P(﹣2,1)或(﹣2,2).
考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知,二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)B,其中點(diǎn)B在第一象限,且OA=OB,cot∠BAO=2.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求二次函數(shù)的解析式;
(3)過點(diǎn)B作直線BC平行于x軸,直線BC與二次函數(shù)圖像的另一個(gè)交點(diǎn)為C,聯(lián)結(jié)AC,如果點(diǎn)P在x軸上,且△ABC和△PAB相似,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
小明利用暑假20天(8月5日至24日)參與了一家網(wǎng)店經(jīng)營(yíng)的社會(huì)實(shí)踐.負(fù)責(zé)在網(wǎng)絡(luò)上銷售一種新款的SD卡,每張成本價(jià)為20元.第天銷售的相關(guān)信息如下表所示.
銷售量p(張) | |
銷售單價(jià)q(元/張) |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
某商場(chǎng)銷售某種品牌的手機(jī),每部進(jìn)貨價(jià)為2500元.市場(chǎng)調(diào)研表明:當(dāng)銷售價(jià)為2900元時(shí),平均每天能售出8部;而當(dāng)銷售價(jià)每降低50元時(shí),平均每天就能多售出4部.
(1)當(dāng)售價(jià)為2800元時(shí),這種手機(jī)平均每天的銷售利潤(rùn)達(dá)到多少元?
(2)若設(shè)每部手機(jī)降低x元,每天的銷售利潤(rùn)為y元,試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)商場(chǎng)要想獲得最大利潤(rùn),每部手機(jī)的售價(jià)應(yīng)訂為多少元?此時(shí)的最大利潤(rùn)是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知二次函數(shù)y=x2+bx+c中,函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表:
x | … | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
y | … | 8 | 3 | 0 | -1 | 0 | 3 | … |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,x1,x2是方程x2+4x﹣5=0的兩根.
(1)若拋物線的頂點(diǎn)為D,求S△ABC:S△ACD的值;
(2)若∠ADC=90°,求二次函數(shù)的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知二次函數(shù).
(1)證明:不論取何值,該函數(shù)圖象與軸總有兩個(gè)公共點(diǎn);
(2)若該函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)(0,5),求出頂點(diǎn)坐標(biāo),并畫出該函數(shù)圖象.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,拋物線y=-x2+(m-1)x+m與y軸交于(0,3)點(diǎn),
(1)求出這條拋物線;
(2)求它與x軸的交點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)x取什么值時(shí),拋物線在x軸上方?
(4)x取什么值時(shí),y的值隨x的增大而減。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(1)已知二次函數(shù),請(qǐng)你化成的形式,并在直角坐標(biāo)系中畫出的圖象;
(2)如果,是(1)中圖象上的兩點(diǎn),且,請(qǐng)直接寫出、的大小關(guān)系;
(3)利用(1)中的圖象表示出方程的根來(lái),要求保留畫圖痕跡,說明結(jié)果.
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