Question

如圖，正方形ABCD中，點M、N分別在AB、BC上，BM=BN，連接MC，作BP⊥MC垂足為P，連接PN，PD．求證：PN⊥PD．

Answer 1

考點：正方形的性質

專題：證明題

分析：利用等角的余角相等得出∠MBP=∠BCM，從而證得△PBM∽△PCB，得出

PB

BM

=

PC

BC

，根據BM=BN，BC=DC，得出

PB

BN

=

PC

CD

，根據同角的余角相等得出∠PCD=∠PBN．進而證得△PBN∽△PCD．得出∠DPC=∠BPN．即可證得PN⊥PD．

解答：解：∵BP⊥MC，∠B=90°
∴∠PBC+∠PBM=90°，
又∵∠PBM+∠PMB=90°，
∴∠PBC=∠PMB．
∴△PBM∽△PCB，
∴

PB

BM

=

PC

BC

，
∵BM=BN，BC=DC，
∴

PB

BN

=

PC

CD

，
∵∠PCD+∠PCB=90°，∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠PCD=∠PBN．
∴△PBN∽△PCD．
∴∠DPC=∠BPN．
又∵BP⊥MC，
∴∠BPN+∠CPN=90°
∴∠DPC+∠CPN=90°，
即∠DPN=90°
∴PN⊥PD．

點評：本題考查相似三角形的判定及性質．識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應邊、對應角，可利用數形結合思想根據圖形提供的數據計算對應角的度數、對應邊的比．