Question

已知AB是⊙O的直徑，在OA上取一點M，作MC、MD與⊙O分別交于C、D兩點，且∠BMC=∠BMD．求證：MC=MD．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,角平分線的性質

專題：證明題

分析：作OE⊥CM，OF⊥MD，OE=OF，即可證明RT△OME≌RT△OMF，可得ME=MF，即可證明RT△OCE≌RT△ODF，可得CE=DF，即可解題．

解答：證明：作OE⊥CM，OF⊥MD，

∵∠BMC=∠BMD，
∴OE=OF，
∵在RT△OME和RT△OMF中，

OE=OF OM=OM

，
∴RT△OME≌RT△OMF，（HL）
∴ME=MF，
∵在RT△OCE和RT△ODF中，

OE=OF OC=OD

，
∴RT△OCE≌RT△ODF，（HL）
∴CE=DF，
∴MC=MD．

點評：本題考查了直角三角形全等的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，本題中求證RT△OME≌RT△OMF和RT△OCE≌RT△ODF是解題的關鍵．