Question

【題目】(14分)如圖1，已知點(diǎn)B(0，6)，點(diǎn)C為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC，△ODC和△EBC都是等邊三角形．

　　

　　圖1　　　　　　　　　　圖2　　　　　　　 　　　圖3

(1)求證：DE＝BO；

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在BC上時(shí)．

①求OC的長(zhǎng)及點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△PEC為等腰三角形？若存在，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；

③如圖3，點(diǎn)M是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)B，C除外)，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥BE于點(diǎn)G，MH⊥CE于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，MH＋MG的值是否發(fā)生變化？若不會(huì)變化，直接寫出MH＋MG的值；若會(huì)變化，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)① , ②存在 , ③不會(huì)變化，MH＋MG＝6

【解析】試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BC=CE，OC=CD，∠OCD=∠BCE=60°，求得∠OCB=∠DCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）①由點(diǎn)B（0，6），得到OB=6，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CDE=∠BOC=90°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠DEC=30°，求得CE=4，過(guò)E作EF⊥x軸于F，角三角形即可得到結(jié)論；②存在，如圖d，當(dāng)CE=CP=4時(shí)，當(dāng)CE=PE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；③不會(huì)變化，如圖c，連接EM，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

試題解析：(1)證明：∵△ODC和△EBC都是等邊三角形，

∴OC＝DC，BC＝CE，∠OCD＝∠BCE＝60°.

∴∠BCE＋∠BCD＝∠OCD＋∠BCD，

即∠ECD＝∠BCO.

∴△DEC≌△OBC(SAS)．

∴DE＝BO.

(2)①∵△ODC是等邊三角形，

∴∠OCB＝60°.

∵∠BOC＝90°，

∴∠OBC＝30°.

設(shè)OC＝x，則BC＝2x，

∴x2＋62＝(2x)2.解得x＝2.

∴OC＝2，BC＝4.

∵△EBC是等邊三角形，

∴BE＝BC＝4.

又∵∠OBE＝∠OBC＋∠CBE＝90°，

∴E(4，6)．

②若點(diǎn)P在C點(diǎn)左側(cè)，則CP＝4，OP＝4－2＝2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，0)；

若點(diǎn)P在C點(diǎn)右側(cè)，則OP＝2＋4＝6，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6，0)．

③不會(huì)變化，MH＋MG＝6.