Question

如圖1，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C是

AB

上的一個動點（不與點A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為點D、點E．
（1）當BC=1時，求線段OD的長；
（2）在點C的運動過程中，△DOE中是否存在長度保持不變的邊或度數(shù)保持不變的角？如果存在，請指出并求其長度或度數(shù)（只求一種即可）；如果不存在，請說明理由；
（3）作DF⊥OE于點F（如圖2），當DF²+EF取得最大值時，求sin∠BOD的值．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)垂徑定理，可得BD的長度，根據(jù)勾股定理，可得答案；
（2）根據(jù)勾股定理，可得AB的長度，根據(jù)三角形的中位線，可得答案，根據(jù)垂徑定理，可得圓心角相等，根據(jù)角的和差，可得答案；
（3）根據(jù)勾股定理，可得DF²，根據(jù)二次函數(shù)的最值，可得DF的長度，根據(jù)等腰直角三角形的性質，可得OD的長度，根據(jù)正弦的含義，可得答案．

解答：解：（1）∵點O是圓心，OD⊥BC，BC=1，
∴BD=

1

2

BC=

1

2

．
又∵OB=2，
∴OD=

OB2-BD2

=

22-( 1 2 )2

=

15

2

；
（2）存在，DE的長度是不變的．
如圖1，連結AB，
則AB=

OB2+OA2

=2

2

，
∵點D、點E分別是BC、AC的中點，
∴DE=

1

2

AB=

2

．
存在，∠DOE的度數(shù)是不變的．
如圖2，連結OC，
可得∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠AOB=90°
∴∠2+∠3=45°即∠DOE=45°；

（3）如圖3，設EF=x，由（2）可知DE=

2

在Rt△DFE中，DF²=DE²-EF²=2-x²
∴DF ²+EF=-x²+x+2
∴當x=

1

2

，即EF=

1

2

時，DF ²+EF取得最大值，
此時，DF=

7

2

由（2）可知∠DOE=45°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴OD=

14

2

在Rt△BOD中，BD=

OB2-OD2

=

22-( 14 2 )2

=

2

2

∴sin∠BOD=

BD

OB

=

2 2

2

=

2

4

．

點評：本題考查了圓的綜合題，熟練應用利用垂徑定理，勾股定理，三角形的中位線的性質是解題關鍵．