Question

已知菱形ABCD，∠ABC=60°，O為AC邊的中點(diǎn)，E為線段AC上一點(diǎn)（不與A、O、C點(diǎn)重合）．
（1）如圖1，當(dāng)E點(diǎn)在線段AC上時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)在邊AD上，DF=CE，射線BE與CF交于M，連接AM，求證：MA平分∠EMF；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，G點(diǎn)為E點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)的對稱點(diǎn)，延長BE到P使EP=BE，點(diǎn)N為邊AD上一點(diǎn)，并且滿足AN=AC-EG，請你判斷直線PN與直線AB的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）求出AF=AE，再利用“邊角邊”證明△ABE和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ABE=∠ACF，然后求出△ABE和△CME相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等可得∠CME=∠BAE=60°，相似三角形對應(yīng)邊成比例可得

AE

ME

=

BE

CE

，再求出△AEM和△BEC相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等可得∠AME=∠ACB=60°，再求出∠AMF=60°，然后根據(jù)角平分線的定義解答；
（2）連接NE并延長與AB相交于點(diǎn)F，根據(jù)對稱性可得AE=CG，然后求出AN=2AE，再求出∠AEN=90°，根據(jù)菱形的對稱性可得EN=EF，再利用“邊角邊”證明△BEF和△PEN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BFE=∠PNE，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行證明即可．

解答：（1）證明：∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，
又∵菱形的邊AB=AD，DF=CE，
∴AD-AF=AC-CE，
即AF=AE，
在△ABE和△ACF中，

AB=AC ∠BAE=∠CAF=60° AF=AE

，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠ABE=∠ACF，
∵∠AEB=∠CEM，
∴△ABE∽△CME，
∴∠CME=∠BAE=60°，

AE

ME

=

BE

CE

，
又∵∠AEM=∠BEC，
∴△AEM∽△BEC，
∴∠AME=∠ACB=60°，
∴∠AMF=180°-∠AME-∠CME=180°-60°-60°=60°，
∴∠AMF=∠AME，
∴MA平分∠EMF；

（2）解：PN∥AB．
理由如下：如圖，連接NE并延長與AB相交于點(diǎn)F，
由菱形的對稱性得，AE=CG，
∵AN=AC-EG，
∴AN=2AE，
∵∠CAD=∠ACB=60°，
∴∠ANE=30°，∠AEN=90°，
由菱形的對稱性得EN=EF，
在△BEF和△PEN中，

EP=BE ∠BEF=∠PEN EN=EF

，
∴△BEF≌△PEN（SAS），
∴∠BFE=∠PNE，
∴PN∥AB．

點(diǎn)評：本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，（1）求出相似三角形然后根據(jù)角的度數(shù)相等求解是解題的關(guān)鍵，（2）作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．