Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，點I是△ABC的內(nèi)心，延長BI交⊙O于D，交AC于點G．
（1）求證：AD=DI．
（2）探究線段ID，DG，DB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（3）若AC=4，BC=3，求AD的長．
（4）在（3）的條件下，求DG及AG的長．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）連接AI，如圖1，由點I是△ABC的內(nèi)心可得∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠CBI，根據(jù)圓周角定理可得∠DAC=∠DBC，從而可得∠ABI=∠DAC，然后利用外角性質(zhì)即可解決問題；
（2）易證△DAG∽△DBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AD²=DG•DB，由AD=ID即可得到ID²=DG•DB；
（3）過點D作DE⊥AB于E，過點D作DF⊥BC于F，連接DC，如圖2．根據(jù)勾股定理可得AB=5，易證△BED≌△BFD，則有DE=DF，BE=BF．由∠ABD=∠CBD可得DA=DC，然后根據(jù)勾股定理證到AE=CF，由此可求出BE、AE的長．易證△AED∽△ADB，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出AD的長；
（4）在Rt△ADB中運用勾股定理可求出DB，結(jié)合（1）中的結(jié)論AD²=DG•DB可求出DG的長，然后在Rt△ADG中運用勾股定理即可求出AG的長．

解答：解：（1）連接AI，如圖1，
∵點I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠CBI，
∵∠DAC=∠DBC，∴∠ABI=∠DAC，
∴∠DAI=∠DAC+∠IAC=∠ABI+∠BAI=∠AID，
∴AD=DI；

（2）ID²=DG•DB．
證明：∵∠ABD=∠DAG，∠D=∠D，
∴△DAG∽△DBA，
∴

AD

BD

=

GD

AD

，
∴AD²=DG•DB．
∵AD=ID，
∴ID²=DG•DB；

（3）過點D作DE⊥AB于E，過點D作DF⊥BC于F，連接DC，如圖2．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ACB=90°．
∵AC=4，BC=3，
∴AB=5．
在△BED和△BFD中，

∠EBD=∠FBD ∠BED=∠BFD BD=BD

，
∴△BED≌△BFD（AAS），
∴DE=DF，BE=BF．
∵∠ABD=∠CBD，
∴DA=DC，
∴AE²=AD²-DE²=DC²-DF²=CF²，
∴AE=CF，
∴AB-BE=BF-BC，
∴5-BE=BE-3，
∴BE=4，
∴AE=AB-BE=5-4=1．
∵∠DAE=∠BAD，∠AED=∠ADB=90°，
∴△AED∽△ADB，
∴

AD

AB

=

AE

AD

，
∴AD²=AE•AB=1×5=5，
∴AD=

5

，
即AD的長為

5

；

（4）在Rt△ADB中，
DB=

AB2-AD2

=

25-5

=2

5

．
由（1）得AD²=DG•DB，
∴DG=

5

2 5

=

5

2

．
在Rt△ADG中，
AG=

AD2+DG2

=

5+ 5 4

=

5

2

，
∴在（3）的條件下，DG的長為

5

2

，AG的長為

5

2

．

點評：本題主要考查了圓周角與弦的關(guān)系、圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，綜合性比較強，利用（1）中的結(jié)論將ID轉(zhuǎn)化為AD是解決第（2）小題的關(guān)鍵，過∠ABC的角平分線上點D向兩邊作垂線段構(gòu)造全等三角形是解決第（3）小題的關(guān)鍵，運用相似三角形的性質(zhì)是解決第（4）小題的關(guān)鍵．