Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-

1

2

x²+bx+c（b，c為常數(shù)）的頂點為P．等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標(biāo)為（0，-1），C的坐標(biāo)為（4，3），直角頂點B在第四象限．
（1）如圖，若該拋物線過A，B兩點，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點D、點E分別從（1）中點A、點P處出發(fā)，同速、同向在直線AC上運動，當(dāng)以DE為對角線的正方形DMEN的一頂點M落在拋物線y=-

1

2

x²+bx+c時，N點坐標(biāo)

 

；
（3）平移（1）中的拋物線，使頂點P在射線AC上滑動，平移后的拋物線與原拋物線交點為Q，若∠BAQ=∠CAB，求出此時拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先求出點B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）首先利用含字母m的代數(shù)式，求出正方形DMEN四點的坐標(biāo)：D（m，m-1）、E（m+2，m+1）、M（m+2，m-1）、N（m，m+1）；然后根據(jù)點M（m+2，m-1）在拋物線上，列方程求出m的值，從而求得點N的坐標(biāo)；
（3）首先設(shè)平移后的拋物線解析式為y=-

1

2

（x-2-n）²+1+n（n＞0）①．其次，求出符合條件的點Q的坐標(biāo)，分別為（2，1）和（6，-7），將點Q坐標(biāo)分別代入①式，求出n的值，進而分別求出所求拋物線的解析式．

解答：解：（1）∵A（0，-1），C（4，3），
∴直線AC的解析式為y=x-1，即直線AC與x軸正半軸夾角為45°．
∵△ABC為等腰直角三角形，∴AB∥x軸，BC∥y軸，∴B（4，-1）．
∵點A（0，-1）、B（4，-1）在拋物線y=-

1

2

x²+bx+c上，
∴

c=-1 -8+4b+c=-1

，解得b=2，c=-1．
∴y=-

1

2

x²+2x-1．

（2）∵y=-

1

2

x²+2x-1=-

1

2

（x-2）²+1，
∴P（2，1），易得AP=2

2

．
由題意可知，DE=2

2

，正方形DMEN的邊長為2，如答圖1所示．

由點D在直線y=x-1上，可設(shè)D（m，m-1），則E（m+2，m+1）、M（m+2，m-1）、N（m，m+1）．
∵點M在在拋物線y=-

1

2

x²+2x-1上，
∴m-1=-

1

2

（m+2）²+2（m+2）-1，
整理得：m²+2m-4=0，解得m=

5

-1或-

5

-1．
∴N點坐標(biāo)為（

5

-1，

5

）或（-

5

-1，-

5

）．

（3）設(shè)平移后的拋物線解析式為：y=-

1

2

（x-2-n）²+1+n（n＞0）①．
由題意可知，符合條件的點Q有兩個：
（i）當(dāng)點Q與點P重合時，
此時Q（2，1）
將點Q坐標(biāo)代入①式得：1=-

1

2

（2-2-n）²+1+n，解得：n=2
∴y=-

1

2

（x-4）²+3；
（ii）當(dāng)AQ⊥AC時，
易知此時直線AQ解析式為：y=-x-1，
聯(lián)立直線AQ與拋物線的解析式得：-x-1=-

1

2

x²+2x-1，
解得x=0（舍去）或x=6，∴Q（6，-7）．
將點Q坐標(biāo)代入①式得：-7=-

1

2

（6-2-n）²+1+n，解得：n=10
∴y=-

1

2

（x-12）²+11．
綜上所述，滿足條件的拋物線的解析式為：y=-

1

2

（x-4）²+3或y=-

1

2

（x-12）²+11．

點評：本題是二次函數(shù)與幾何變換的綜合題型，題目綜合性較強，有一定的難度．第（2）（3）問均涉及平移變換，要注意在平移變換中變化的量與不變的量，要能正確寫出平移后拋物線的解析式．