Question

現(xiàn)有一副直角三角板（角度分別為30°、60°、90°和45°、45°、90°），如圖（1），其中一塊三角板的直角邊AC與數(shù)軸垂直，AC的中點(diǎn)過數(shù)軸原點(diǎn)O，AC=8，斜邊AB交數(shù)軸于點(diǎn)G，點(diǎn)G對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)是4；另一塊三角板的直角邊AE交數(shù)軸于點(diǎn)F，斜邊AD交數(shù)軸于點(diǎn)H．
（1）如果△AGH的面積是10，△AHF的面積是8，則點(diǎn)F對應(yīng)的數(shù)軸上的數(shù)是

 

，點(diǎn)H對應(yīng)的數(shù)軸上的數(shù)是

 

；
（2）如圖（2），設(shè)∠AHF的平分線和∠AGH的平分線交于點(diǎn)M，若∠HAO=∂，試用∂來表示∠M的大��；
（3）如圖（2），設(shè)∠AHF的平分線和∠AGH的平分線交于點(diǎn)M，設(shè)∠EFH的平分線和∠FOC的平分線交于點(diǎn)N，求∠N+∠M的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的面積,三角形的外角性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）由于∠OCB=90°，則OG=OA=4，再根據(jù)三角形面積公式可計(jì)算出GH=5，F(xiàn)H=4，所以O(shè)H=1，OF=5，所以點(diǎn)F對應(yīng)的數(shù)軸上的數(shù)是-5，點(diǎn)H對應(yīng)的數(shù)軸上的數(shù)是-1；
（2）由∠AHF的平分線和∠AGH的平分線交于點(diǎn)M得到∠FHM=

1

2

∠FHA，∠HGM=

1

2

∠HGA，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠FHM=∠M+∠HGM，∠FHA=∠HGA+∠HAG，
則2∠M+2∠HGM=∠HGA+∠HAG，所以∠M=

1

2

∠HAG=

1

2

（∠HAO+∠OAG）=

1

2

∂+22.5°；
（3）與（2）證明方法一樣可得到∠N=90°-

1

2

∠FAO=90°-

1

2

∠FAH-

1

2

∠OAH=90°-15°-

1

2

∠OAH=75°-

1

2

∠OAH，加上∠M=

1

2

∠OAH+22.5°，即可得到∠M+∠N=97.5°．

解答：解：（1）AO=4，
∵△AGH的面積是10，
∴

1

2

×4×GH=10，解得GH=5，
而∠OCB=90°，
∴OG=OA=4，
∴OH=1，
∴H點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0）；
∵△AHF的面積是8，
∴

1

2

FH•4=8，解得FH=4，
∴OF=OH+FH=5，
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5，0）；
（2）∵∠AHF的平分線和∠AGH的平分線交于點(diǎn)M，
∴∠FHM=

1

2

∠FHA，∠HGM=

1

2

∠HGA，
∵∠FHM=∠M+∠HGM，∠FHA=∠HGA+∠HAG，
∴2∠M+2∠HGM=∠HGA+∠HAG，
∴∠M=

1

2

∠HAG=

1

2

（∠HAO+∠OAG）=

1

2

∂+22.5°；
（3）∵∠EFH的平分線和∠FOC的平分線交于點(diǎn)N，
∴∠N=90°-

1

2

∠FAO=90°-

1

2

∠FAH-

1

2

∠OAH=90°-15°-

1

2

∠OAH=75°-

1

2

∠OAH，
∵∠M=

1

2

∠OAH+22.5°，
∴∠M+∠N=97.5°．
故答案為-5，-1．

點(diǎn)評：本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．也考查了角平分線的定義和三角形外角性質(zhì)．