【題目】已知點(diǎn)D是等邊△ABC的邊BC上一點(diǎn),以AD為邊向右作等邊△ADF,DF與AC交于點(diǎn)N.
(1)如圖①,當(dāng)AD⊥BC時(shí),請(qǐng)說(shuō)明DF⊥AC的理由;
(2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)D在BC上移動(dòng)時(shí),以AD為邊再向左作等邊△ADE,DE與AB交于點(diǎn)M,試問(wèn)線段AM和AN有什么數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明你的理由;
(3)在(2)的基礎(chǔ)上,若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2,直接寫(xiě)出DM+DN的最小值.
【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)AM=AN,理由詳見(jiàn)解析;(3)
【解析】
(1)根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠CAD=30°,再求出∠FAN=30°,然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明;
(2)根據(jù)等邊三角形的每一個(gè)角都是60°可得∠ADE=∠ADF,等邊三角形的三條邊都相等可得AD=AF,再求出∠DAM=∠FAN,然后利用“角邊角”證明△ADM和△AFN全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得到AM=AN;
(3)根據(jù)垂線段最短可得DM⊥AB、DN⊥AC時(shí),DM、DN最短,再利用△ABC的面積求出此時(shí)DM+DN等于等邊△ABC的高,然后求解即可.
(1)證明:∵△ABC是等邊三角形,AD⊥BC,
∴∠CAD=×60°=30°,
又∵△ADF是等邊三角形,
∴∠DAF=60°,
∴∠DAN=∠FAN=30°,
∴AN⊥DF,
即DF⊥AC;
(2)AM=AN,理由如下:
∵△ADE,△ADF是等邊三角形,
∴∠ADE=∠F=60°,AD=AF,
∵∠DAM+∠CAD=60°,
∠FAN+∠CAD=60°,
∴∠DAM=∠FAN,
在△ADM和△AFN中,
∴△ADM≌△AFN(ASA),
∴AM=AN;
(3)根據(jù)垂線段最短,DM⊥AB,DN⊥AC時(shí),DM,DN最短,設(shè)等邊△ABC的高線為h,
則,
,
∴S△ABC=ACh=AC(DM+DN),
∴DM+DN=h,
∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2,
.
∴DM+DN的最小值為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正方形ABCD中,連接BD.
(1)如圖1,AE⊥BD于E.直接寫(xiě)出∠BAE的度數(shù).
(2)如圖1,在(1)的條件下,將△AEB以A旋轉(zhuǎn)中心,沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°后得到△AB′E′,AB′與BD交于M,AE′的延長(zhǎng)線與BD交于N.
①依題意補(bǔ)全圖1;
②用等式表示線段BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
(3)如圖2,E、F是邊BC、CD上的點(diǎn),△CEF周長(zhǎng)是正方形ABCD周長(zhǎng)的一半,AE、AF分別與BD交于M、N,寫(xiě)出判斷線段BM、DN、MN之間數(shù)量關(guān)系的思路.(不必寫(xiě)出完整推理過(guò)程)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y= 交于A(﹣1,2),B(2,n),與y軸交于C點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式;
(2)如圖1,若將y=kx+b向下平移,使平移后的直線與y軸交于F點(diǎn),與雙曲線交于D,E兩點(diǎn),若S△ABD=3,
求D,E的坐標(biāo).
(3)如圖2,P為直線y=2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線AB于Q,交雙曲線于R,若QR=2QP,求P點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是中邊上的中線,過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)為外一點(diǎn),連接,且.求證:
(1);
(2)CA平分.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,依次連接下列各點(diǎn): A(-5,0),B(1,4),C(3,3),D(1,0),E(3,-3),F(1,-4).
(2)請(qǐng)你在如圖所示的方格紙上按照如下要求設(shè)計(jì)直角三角形:
①使它的三邊中有一邊邊長(zhǎng)不是有理數(shù);
②使它的三邊中有兩邊邊長(zhǎng)不是有理數(shù);
③使它的三邊邊長(zhǎng)都不是有理數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圖1,圖2是兩張形狀和大小完全相同的方格紙,方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上.
(1)如圖1,在小正方形的頂點(diǎn)上確定一點(diǎn)C,連接AC、BC,使得△ABC為直角三角形,其面積為5,并直接寫(xiě)出△ABC的周長(zhǎng);
(2)如圖2,在小正方形的頂點(diǎn)上確定一點(diǎn)D,連接AD、BD,使得△ABD中有一個(gè)內(nèi)角為45°,且面積為3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知在△ABC中,∠B=90°,AB=8cm,BC=6cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿△ABC的邊做逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),且速度為每秒1cm;點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿△ABC的邊做逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),且速度為每秒2cm,他們同時(shí)出發(fā),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)出發(fā)2秒后,P,Q兩點(diǎn)間的距離為多少cm?
(2)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△PQB能形成等腰三角形嗎?若能,請(qǐng)求出幾秒后第一次形成等腰三角形;若不能,則說(shuō)明理由.
(3)出發(fā)幾秒后,線段PQ第一次把△ABC的周長(zhǎng)分成相等兩部分?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AD是BC邊上的中線,AE是BC邊上的高.
(1)若∠ACB=100°,求∠CAE的度數(shù);
(2)若S△ABC=12,CD=4,求高AE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)為了綠化校園,計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)一批榕樹(shù)和香樟樹(shù),經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,榕樹(shù)的單價(jià)比香樟樹(shù)少20元,購(gòu)買(mǎi)3棵榕樹(shù)和2棵香樟樹(shù)共需340元.
(1)榕樹(shù)和香樟樹(shù)的單價(jià)各是多少?
(2)根據(jù)學(xué)校實(shí)際情況,需購(gòu)買(mǎi)兩種樹(shù)苗共150棵,總費(fèi)用不超過(guò)10840元,且購(gòu)買(mǎi)香樟樹(shù)的棵數(shù)不少于榕樹(shù)的1.5倍,請(qǐng)你算算該校本次購(gòu)買(mǎi)榕樹(shù)和香樟樹(shù)共有哪幾種方案.
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