【題目】在正方形ABCD中,連接BD.
(1)如圖1,AE⊥BD于E.直接寫出∠BAE的度數(shù).

(2)如圖1,在(1)的條件下,將△AEB以A旋轉(zhuǎn)中心,沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°后得到△AB′E′,AB′與BD交于M,AE′的延長(zhǎng)線與BD交于N.
①依題意補(bǔ)全圖1;
②用等式表示線段BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
(3)如圖2,E、F是邊BC、CD上的點(diǎn),△CEF周長(zhǎng)是正方形ABCD周長(zhǎng)的一半,AE、AF分別與BD交于M、N,寫出判斷線段BM、DN、MN之間數(shù)量關(guān)系的思路.(不必寫出完整推理過(guò)程)

【答案】
(1)解:∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線,

∴∠ABD=∠ADB=45°,

∵AE⊥BD,

∴∠ABE=∠BAE=45°,


(2)解:①依題意補(bǔ)全圖形,如圖1所示,

②BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系是BM2+MD2=MN2

將△AND繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△AFB,

∴∠ADB=∠FBA,∠BAF=∠DAN,DN=BF,AF=AN,

∵在正方形ABCD中,AE⊥BD,

∴∠ADB=∠ABD=45°,

∴∠FBM=∠FBA+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90°,

在Rt△BFM中,根據(jù)勾股定理得,F(xiàn)B2+BM2=FM2,

∵旋轉(zhuǎn)△ANE得到AB1E1,

∴∠E1AB1=45°,

∴∠BAB1+∠DAN=90°﹣45°=45°,

∵∠BAF=DAN,

∴∠BAB1+∠BAF=45°,

∴∠FAM=45°,

∴∠FAM=∠E1AB1,

∵AM=AM,AF=AN,

∴△AFM≌△ANM,

∴FM=MN,

∵FB2+BM2=FM2,

∴DN2+BM2=MN2


(3)解:如圖2,

將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG,

∴DF=GB,

∵正方形ABCD的周長(zhǎng)為4AB,

△CEF周長(zhǎng)為EF+EC+CF,

∵△CEF周長(zhǎng)是正方形ABCD周長(zhǎng)的一半,

∴4AB=2(EF+EC+CF),

∴2AB=EF+EC+CF

∵EC=AB﹣BE,CF=AB﹣DF,

∴2AB=EF+AB﹣BE+AB﹣DF,

∴EF=DF+BE,

∵DF=GB,

∴EF=GB+BE=GE,

由旋轉(zhuǎn)得到AD=AG=AB,

∵AM=AM,

∴△AEG≌△AEF,

∠EAG=∠EAF=45°,

和(2)的②一樣,得到DN2+BM2=MN2


【解析】(1)利用正方形性質(zhì)和等腰直角三角形性質(zhì)可求出;(2)通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形,即△AND全等于△AFB, 進(jìn)而∠FBM=∠FBA+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90°,得到△AFM≌△ANM,轉(zhuǎn)化FM=MN,進(jìn)而得出三邊之間的勾股關(guān)系; (3)借鑒(2)的思路方法,仍可采用旋轉(zhuǎn)法,構(gòu)造全等三角形△ADF△ABG,進(jìn)一步△AEG≌△AEF,得出三邊之間的關(guān)系.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的勾股定理的概念,需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正確答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求b的值;

(2)連結(jié)OM,若三角形ODM的面積與四邊形OAEM的面積之比為1:3,求點(diǎn)M的坐標(biāo);

(3)設(shè)點(diǎn)N是軸上方平面內(nèi)的一點(diǎn),以O(shè)、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,求點(diǎn)N的坐標(biāo).

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(1)如圖1所示,當(dāng)直線AB與x軸平行,∠AOB=90°,且AB=2時(shí),求此拋物線的解析式和A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積;

(2)如圖2所示,在(1)所求得的拋物線上,當(dāng)直線AB與x軸不平行,∠AOB仍為90°時(shí),求證:A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的乘積是一個(gè)定值;

(3)在(2)的條件下,如果直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)P、D,且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為 .那么在x軸上是否存在一點(diǎn)Q,使△QDP為等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(1)A點(diǎn)的坐標(biāo)為_____,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為______

(2)當(dāng)點(diǎn)POA上,且BP平分∠OBA時(shí),則此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為______;

(3)設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(0≤t≤4),△BPA的面積為S,求St之間的函數(shù)關(guān)系式:并直接寫出當(dāng)S=8時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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A

B

價(jià)格(萬(wàn)元/臺(tái))

a

b

年載客量(萬(wàn)人/年)

60

100

若購(gòu)買A型公交車1輛,B型公交車2輛,共需400萬(wàn)元;若購(gòu)買A型公交車2輛,B型公交車1輛,共需350萬(wàn)元.

(1)求ab的值;

(2)如果該公司購(gòu)買A型和B型公交車的總費(fèi)用不超過(guò)1200萬(wàn)元,且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于680萬(wàn)人次.請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案,使得購(gòu)車總費(fèi)用最少.

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即當(dāng)為非負(fù)整數(shù)時(shí),若,則

例如:,,

請(qǐng)解決下列問(wèn)題:

1______;

2)若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________;

3)①;

②當(dāng)為非負(fù)整數(shù)時(shí),;

③滿足的非負(fù)實(shí)數(shù)只有兩個(gè).其中結(jié)論正確的是_____(填序號(hào))

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原式=y+2)(y+6+4 (第一步)

=y2+8y+16 (第二步)

=y+42(第三步)

=x24x+42(第四步)

回答下列問(wèn)題:

1)該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的_______

A.提取公因式

B.平方差公式

C.兩數(shù)和的完全平方公式

D.兩數(shù)差的完全平方公式

2)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底?________.(填徹底不徹底)若不徹底,請(qǐng)直接寫出因式分解的最后結(jié)果_________

3)請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式(x22x)(x22x+2+1進(jìn)行因式分解.

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3)在(2)的基礎(chǔ)上,若等邊ABC的邊長(zhǎng)為2,直接寫出DM+DN的最小值.

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