Question

如圖平行四邊形OABC，A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）拋物線y=ax²+bx+4經(jīng)過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)，交y軸于D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）P是拋物線上一點(diǎn)且△OBP≌△ODP，求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）直線MN∥x軸，交拋物線于N，交y軸負(fù)半軸于M，連線段BN、AM，BN交OD于E，得AM∥BN，求線段MN的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式，可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，由于平行四邊形的對邊相等，即OA=BC=2，由此可求得拋物線的對稱軸方程，進(jìn)而可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，然后將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，聯(lián)立拋物線的對稱軸方程即可確定該二次函數(shù)的解析式．
（2）由拋物線的解析式可求得OB=OD=4，若△OBP≌△ODP，那么必有∠BOP=∠DOP，即P點(diǎn)為二、四象限的角平分線與拋物線的交點(diǎn)，可據(jù)此求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）由MN∥x軸，可得到OE：OB=MN：BM，由AM∥BE，可得到OE：OB=OA：OM，等量代換后可求得MN：BM=OA：OM，可設(shè)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，即可表示出MN、OM的長，根據(jù)上面的比例式，可得到N點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的關(guān)系式，聯(lián)立拋物線的解析式，即可求出N點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而MN的長為N點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對值，由此得解．
解答：解：（1）由平行四邊形ABCO得：BC=AO=2，
∴對稱軸x=-=-1，b=2a，D（-4，0），
∵y=ax²+2ax+4過點(diǎn)D（-4，0），
∴0=16a-8a+4，a=-；
故拋物線的解析式為：y=-x²-x+4．

（2）∵△OBP≌△ODP，且OB=OD=4，
∴∠BOP=∠DOP，
即∠BOP=45°或135°，
故P在第二或第四象限的角平分線上，
即P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，（5分）
則有：x+y=0；
又y=-x²-x+4，x+y=-x²+4=0，
解得：x₁=2，x₂=-2；y₁=-2，y₂=2；
故P（2，-2）或（-2，2）．（7分）

（3）設(shè)N（x，y），則OM=-y，MN=-x；
∵M(jìn)N∥x軸，AM∥BN，
∴=①，=②；（9分）
由①②得=，=，y=；（10分）
又y=-x²-x+4=-x²-x+4，
化簡得x²+4x-4=0，
解得x₁=2-2，x₂=-2-2；
MN=-x=2+2．（12分）
點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)解析式的性質(zhì)及解析式的確定、全等三角形的性質(zhì)、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、平行線分線段成比例定理等重要知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大．