Question

【題目】如圖1，在等邊三角形中，為中線，點在線段上運動，將線段繞點順時針旋轉，使得點的對應點落在射線上，連接，設（且）．

（1）當時，

①在圖1中依題意畫出圖形，并求（用含的式子表示）；

②探究線段，，之間的數量關系，并加以證明；

（2）當時，直接寫出線段，，之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）

【解析】

（1）①先根據等邊三角形的性質的，進而得出，最后用三角形的內角和定理即可得出結論；②先判斷出，得出，再判斷出是底角為30度的等腰三角形，再構造出直角三角形即可得出結論；（2）同②的方法即可得出結論．

（1）當時，

①畫出的圖形如圖1所示，

∵為等邊三角形，

∴．

∵為等邊三角形的中線

∴是的垂直平分線，

∵為線段上的點，

∴．

∵，

∴，．

∵線段為線段繞點順時針旋轉所得，

∴．

∴．

∴，

∴；

②；

如圖2，延長到點，使得，連接，作于點．

∵，點在上，

∴．

∵點在的延長線上，，

∴．

∴．

又∵，，

∴．

∴．

∵于點，

∴，．

∵在等邊三角形中，為中線，點在上，

∴，

即為底角為的等腰三角形．

∴．

∴．

（2）如圖3，當時，

在上取一點使，

∵為等邊三角形，

∴．

∵為等邊三角形的中線，

∵為線段上的點，

∴是的垂直平分線，

∴．

∵，

∴，．

∵線段為線段繞點順時針旋轉所得，

∴．

∴．

∴，

又∵，，

∴．

∴．

∵于點，

∴，．

∵在等邊三角形中，為中線，點在上，

∴，

∴．

∴．