Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是平行四邊形，AD=6，若OA、OB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的兩個(gè)根，且OA＞OB．

（1）求OA、OB的長(zhǎng)．
（2）若點(diǎn)E為x軸正半軸上的點(diǎn)，且S△AOE= ，求經(jīng)過(guò)D、E兩點(diǎn)的直線解析式及經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的反比例函數(shù)的解析式，并判斷△AOE與△AOD是否相似．
（3）若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線AB上是否存在點(diǎn)F，使以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，直接寫(xiě)出F點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：方程x2﹣7x+12=0，

分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）=0，

可得：x﹣3=0，x﹣4=0，

解得：x1=3，x2=4，

∵OA＞OB，

∴OA=4，OB=3

（2）

解：根據(jù)題意，設(shè)E（x，0），則S△AOE= ×OA×x= ×4x= ，

解得：x= ，

∴E（ ，0），

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（6，4），

設(shè)經(jīng)過(guò)D、E兩點(diǎn)的直線的解析式為y=kx+b，

則 ，

解得： ，

∴解析式為y= x﹣ ；

設(shè)反比例函數(shù)解析式為y= ，

把D（6，4）代入得：m=24，

∴反比例函數(shù)解析式為y= ；

在△AOE與△DAO中， = = ， = = ，

∴ = ，

又∵∠AOE=∠OAD=90°，

∴△AOE∽△DAO

（3）

解：AO⊥BC，

∴AO平分∠BAC，

分四種情況考慮：

①AC、AF是鄰邊，點(diǎn)F在射線AB上時(shí)，AF=AC=5，

∴點(diǎn)F與B重合，即F（﹣3，0）；

②AC、AF是鄰邊，點(diǎn)F在射線BA上時(shí)，M應(yīng)在直線AD上，且FC垂直平分AM，

此時(shí)點(diǎn)F坐標(biāo)為（3，8）；

③AC是對(duì)角線時(shí)，做AC垂直平分線L，AC解析式為y=﹣ x+4，直線L過(guò)（ ，2），且k值為 （平面內(nèi)互相垂直的兩條直線k值乘積為﹣1），

∴L解析式為y= x+ ，

聯(lián)立直線L與直線AB，得： ，

解得：x=﹣ ，y=﹣ ，

∴F（﹣ ，﹣ ）；

④AF是對(duì)角線時(shí)，過(guò)C做AB垂線，垂足為N，

∵S△ABC= BCOA= ABCN=12，

∴CN= = ，

在△BCN中，BC=6，CN= ，

根據(jù)勾股定理得BN= = ，即AN=AB﹣BN=5﹣ = ，

做A關(guān)于N的對(duì)稱點(diǎn)，記為F，AF=2AN= ，

過(guò)F做y軸垂線，垂足為G，F(xiàn)G=AFsin∠BAO= × = ，

∴F（﹣ ， ），

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)有四個(gè)：F1（﹣3，0）；F2（3，8）；F3（﹣ ，﹣ ）；F4（﹣ ， ）．

【解析】（1）解一元二次方程求出OA，OB的長(zhǎng)度即可；（2）先根據(jù)三角形的面積求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解直線的解析式；分別求出兩三角形夾直角的兩對(duì)應(yīng)邊的比，如果相等，則兩三角形相似，否則不相似；（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)，分AC與AF是鄰邊并且點(diǎn)F在射線AB上與射線BA上兩種情況，以及AC與AF分別是對(duì)角線的情況分別進(jìn)行求解計(jì)算．