Question

閱讀材料：如圖1，過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫△ABC的“鉛垂高（h）”，我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半。
解答下列問(wèn)題：
如圖2，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C（1，4），交x軸于點(diǎn)A（3，0），交y軸于點(diǎn)B。

（1）求拋物線和直線AB的解析式；
（2）點(diǎn)P是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C時(shí)，求△CAB的鉛垂高CD及；
（3）是否存在一點(diǎn)P，使S△_PAB=S_△CAB，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：，
把A（3，0）代入解析式求得a=-1，
所以，
設(shè)直線AB的解析式為：，
由求得B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入中，
解得k=-1，b=3，
所以；
（2）因?yàn)镃點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
所以當(dāng)x=1時(shí)，y₁=4，y₂=2，
所以CD=4-2=2，
（平方單位）；
（3）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，△PAB的鉛垂高為h，則
，
由S_△PAB=S_△CAB，
得：，
化簡(jiǎn)得：，
解得：，
將代入中，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為。