Question

如圖，四邊形AOBC是菱形，點(diǎn)B坐標(biāo)為（8，0），∠AOB=60°，點(diǎn)D從點(diǎn)A開始以每秒1個(gè)單位長度的速度沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)O開始以每秒x（1≤x≤4）單位長度的速度沿射線OB向右移動(dòng)，設(shè)t（1≤t≤8）秒后，DE交OC于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)x=4，t=1時(shí)，求經(jīng)過D、E兩點(diǎn)直線的解析式；
（2）當(dāng)t=2時(shí)，設(shè)△OEF的面積為y．
①求函數(shù)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②若△OBC的面積是△OEF的面積的8倍，求線段OE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）作AM⊥OB于M，先解Rt△AOM，得出OM=OA•cos∠AOM=8×

1

2

=4，AM=OA•sin∠AOM=8×

3

2

=4

3

，那么A（4，4

3

）．當(dāng)x=4，t=1時(shí)，AD=1×1=1，OE=4×1=4，求出D（5，4

3

），E（4，0），設(shè)經(jīng)過D、E兩點(diǎn)直線的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）①作CN⊥OB于N，作FG⊥OB于G，則CN=AM=4

3

．先由菱形的性質(zhì)得出∠COB=30°．在Rt△CON中，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得到OC=2CN=8

3

．再由AC∥OB，得出△OFE∽△CFD，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等得出

OF

CF

=

OE

CD

．將OE=2x，CD=6代入，得到

OF

8 3 -OF

=

2x

6

，求出OF=

8 3 x

x+3

，那么FG=

1

2

OF=

4 3 x

x+3

．然后根據(jù)△OEF的面積=

1

2

OE•FG，即可求得函數(shù)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②先求出△OBC的面積=

1

2

•OB•CN=16

3

，再根據(jù)△OBC的面積是△OEF的面積的8倍列出方程8×

4 3 x2

x+3

=16

3

，解方程即可．

解答： 解：（1）如圖，作AM⊥OB于M．
在Rt△AOM中，∵∠OMA=90°，OA=8，∠AOM=60°，
∴OM=OA•cos∠AOM=8×

1

2

=4，AM=OA•sin∠AOM=8×

3

2

=4

3

，
∴A（4，4

3

）．
當(dāng)x=4，t=1時(shí)，AD=1×1=1，OE=4×1=4，
∴D（5，4

3

），E（4，0）．
設(shè)經(jīng)過D、E兩點(diǎn)直線的解析式為y=kx+b，則

5k+b=4 3 4k+b=0

，解得

k=4 3 b=-16 3

，
∴經(jīng)過D、E兩點(diǎn)直線的解析式為y=4

3

x-16

3

；

（2）①如圖，作CN⊥OB于N，作FG⊥OB于G，則CN=AM=4

3

．
∵四邊形AOBC是菱形，∠AOB=60°，
∴∠COB=30°．
在Rt△CON中，∵∠ONC=90°，∠CON=30°，
∴OC=2CN=8

3

．
∵AC∥OB，
∴△OFE∽△CFD，
∴

OF

CF

=

OE

CD

．
∵當(dāng)t=2時(shí)，OE=2x，CD=AC-AD=8-1×2=6，
∴

OF

8 3 -OF

=

2x

6

，
∴OF=

8 3 x

x+3

，
∴FG=

1

2

OF=

4 3 x

x+3

．
∵△OEF的面積=

1

2

OE•FG，
∴y=

1

2

•2x•

4 3 x

x+3

=

4 3 x2

x+3

，
即函數(shù)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=

4 3 x2

x+3

；

②∵△OBC的面積=

1

2

•OB•CN=

1

2

×8×4

3

=16

3

，
∴8×

4 3 x2

x+3

=16

3

，
整理得2x²-x-3=0，
解得x₁=

3

2

，x₂=-1（不合題意舍去），
∴OE=2x=2×

3

2

=3．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)的綜合題，其中涉及到菱形的性質(zhì)，解直角三角形，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，綜合性較強(qiáng)，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合及方程思想是解題的關(guān)鍵．