Question

已知：如圖，把Rt△ABC放在直角坐標(biāo)系中，A（0，4）B（-5，0），點(diǎn)D在BC上，且CD=3，現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以1個(gè)單位/秒的速度沿y軸負(fù)方向移動(dòng)，點(diǎn)Q以

5

4

個(gè)單位/秒的速度沿x軸正方向移動(dòng)，過點(diǎn)P作平行x軸交AD于點(diǎn)E，連結(jié)EQ，設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．
（1）直接寫出的PC長度；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在線段BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)x為何值時(shí)，△EDQ的面積是△ACD面積的

3

16

？
（3）問：在x軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)Q，使得△EDQ是直角三角形？若存在，試求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P以1個(gè)單位/秒的速度沿y軸負(fù)方向移動(dòng)，AO=4，即可直接得出PC；
（2）過點(diǎn)E作EM⊥CD于點(diǎn)M，先求出BQ=

5

4

x，BD=2，得出DQ=2-

5

4

x，再根據(jù)PE∥x軸，得出EM的值，再根據(jù)三角形的面積公式求出S_△EDQ和S_△ACD的值，最后根據(jù)△EDQ的面積是△ACD面積的

3

16

，得出

5

8

x²-

7

2

x+4=

3

16

×6，求解即可；
（3）分兩種情況討論：①當(dāng)∠EQD=90°時(shí)，根據(jù)EQ∥AC，得出

EQ

AC

=

DQ

DC

，再代入求出x的值；②當(dāng)∠QED=90°時(shí)，得出△EDQ∽△CDA，

ED

CD

=

DQ

DA

，再根據(jù)△AEP∽△ADC，得出AE=

5

4

x，最后代入求出x的值．

解答：解：（1）∵點(diǎn)P以1個(gè)單位/秒的速度沿y軸負(fù)方向移動(dòng)，
∴AP=x，
∵A點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，4），
∴AO=4，
∴PC=4-x；
（2）如圖1，過點(diǎn)E作EM⊥CD于點(diǎn)M，
∵點(diǎn)Q以

5

4

個(gè)單位/秒的速度沿x軸正方向移動(dòng)，
∴BQ=

5

4

x，
∵B點(diǎn)的坐標(biāo)是（-5，0），CD=3，
∴BD=2，
∴DQ=2-

5

4

x，
∵PE∥x軸，
∴EM=PC=4-x，
∴S_△EDQ=

1

2

QD•EM=

1

2

（2-

5

4

x）（4-x）=

5

8

x²-

7

2

x+4，
∵S_△ACD=

1

2

CD•AC=

1

2

×4×3=6，
若△EDQ的面積是△ACD面積的

3

16

，
則

5

8

x²-

7

2

x+4=

3

16

×6，
解得：x₁=1，x₂=

23

5

（舍去），
當(dāng)點(diǎn)Q在線段BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)x為1時(shí)，△EDQ的面積是△ACD面積的

3

16

；

（3）分兩種情況討論：
①如圖2，當(dāng)∠EQD=90°時(shí)，顯然有EQ=PC=4-x，
∵EQ∥AC，
∴△EDQ∽△ADC
∴

EQ

AC

=

DQ

DC

，
即

4-x

4

=

5 4 x-2

3

，
解得x=2.5
②如圖3，當(dāng)∠QED=90°時(shí)，
∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，
∴△EDQ∽△CDA，
∴

ED

CD

=

DQ

DA

，
∵△AEP∽△ADC，
∴

AE

AD

=

AP

AC

，
∴

AE

5

=

x

4

，
∴AE=

5

4

x，
∴ED=5-

5

4

x，
∴

5- 5 4 x

3

=

5 4 x-2

5

，
解得x=3.1，
綜上所述，當(dāng)x為2.5秒或3.1秒時(shí)，△EDQ為直角三角形．

點(diǎn)評：此題考查了相似形的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意分兩種情況討論．