Question

如圖1，直線y=

3

3

x+

3

與x軸交于點A，與y軸交于點C，以AC為直徑作⊙M，點D是劣弧AO上一動點（D點與A，O不重合）．拋物線y=-

3

3

x2+bx+c經(jīng)過點A、C，與x軸交于另一點B，
（1）求拋物線的解析式及點B的坐標(biāo)；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，是|PA-PC|的值最大；若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）連CD交AO于點F，延長CD至G，如圖2，使FG=2，試探究當(dāng)點D運動到何處時，直線GA與⊙M相切，并請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，進而求出其對稱軸和B點坐標(biāo)；
（2）首先利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式進而得出，此時PA=PB，|PA-PC|的值最大，求出即可；
（3）當(dāng)D運動到劣弧AO的中點時，直線AG與⊙M相切，利用已知得出△AFG為等邊三角形，進而求出∠CAG=30°+60°=90°，即可得出答案．

解答：解：（1）由y=

3

3

x+

3

得A（-3，0），C（0，

3

）
將其代入拋物線解析式得：

c= 3 -3 3 -3b+c=0

，
解得：

c= 3 b=- 2 3 3

，
∴y=-

3

3

x2-

2 3

3

x+

3

，
∵對稱軸是x=-1，
∴由對稱性得B（1，0）；

（2）延長BC與對稱軸的交點就是點P，此時PA=PB，|PA-PC|的值最大，
由B（1，0），C（0，

3

）
設(shè)直線BC解析式為：y=kx+d，
故

k+d=0 d= 3

，
解得：

k=- 3 d= 3

，
∴直線BC解析式為：y=-

3

x+

3

，
當(dāng)x=-1時，y=2

3

，
∴P（-1，2

3

）；

（3）結(jié)論：當(dāng)D運動到劣弧AO的中點時，直線AG與⊙M相切．
證明：∵在RT△AOC中，tan∠CAO=

3

3

，
∴∠CAO=30°，∠ACO=60°，
∵點D是劣弧AO的中點，
∴弧AD=弧OD
∴∠ACD=∠DCO=30°，
∴OF=OCtan30°=1，∠CFO=60°，
∴△AFG中，AF=3-1=2，∠AFG=∠CFO=60°，
∵FG=2，
∴△AFG為等邊三角形，
∴∠GAF=60°，
∴∠CAG=30°+60°=90°，
∴AC⊥AG，
∴AG為⊙M的切線．

點評：此題主要考查了切線的判定以及等邊三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式等知識，利用二次函數(shù)對稱性得出|PA-PC|的最大值是解題關(guān)鍵．