【題目】如圖,矩形OABC的項(xiàng)點(diǎn)A、C分別在、軸的正半軸上,點(diǎn)B點(diǎn)反比例函數(shù)k≠0)的第一象限內(nèi)的圖象上,OA=3,OC=5,動(dòng)點(diǎn)P軸的上方,且滿足

1)若點(diǎn)P在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

2)連接POPA,求PO+PA的最小值;

3)若點(diǎn)Q在平面內(nèi)一點(diǎn),使得以A、BP、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,則請(qǐng)你直接寫(xiě)出滿足條件的所有點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【答案】1P5,3;2)最小值為;3Q,8)或(78)或(,)或(,

【解析】

1)由矩形的性質(zhì)可得出點(diǎn)B的坐標(biāo),利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出k值,進(jìn)而可得出反比例函數(shù)解析式,由可求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo),再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)P的坐標(biāo);

2)作點(diǎn)O關(guān)于直線y=3的對(duì)稱點(diǎn)O′,連接AO′交直線y=3于點(diǎn)P,利用兩點(diǎn)之間線段最短可得出此時(shí)PO+PA取得最小值,由點(diǎn)O的坐標(biāo)可求出點(diǎn)O′的坐標(biāo),再利用勾股定理即可求出PO+PA的最小值;
3)由線段AB的長(zhǎng)及點(diǎn)P的縱坐標(biāo)可得出AB只能為邊,分點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方及點(diǎn)Q在點(diǎn)P的下方兩種情況考慮:①當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方時(shí),由AP=AB=5可求出m的值,進(jìn)而可得出點(diǎn)P1,P2的坐標(biāo),結(jié)合PQ=AB=5可得出點(diǎn)Q1,Q2的坐標(biāo);②當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P的下方時(shí),由BP=AB=5可求出m的值,進(jìn)而可得出點(diǎn)P3,P4的坐標(biāo),結(jié)合PQ=AB=5可得出點(diǎn)Q3,Q4的坐標(biāo).

1)由題意,可知:點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,5).
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)k≠0)的第一象限內(nèi)的圖象上,
k=3×5=15,
∴反比例函數(shù)的解析式為



當(dāng)y=3時(shí),,

解得:x=5
∴當(dāng)點(diǎn)P在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,3).
2)由(1)可知:點(diǎn)P在直線y=3上,作點(diǎn)O關(guān)于直線y=3的對(duì)稱點(diǎn)O′,連接AO′交直線y=3于點(diǎn)P,此時(shí)PO+PA取得最小值,如圖1所示.


∵點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0,0),
∴點(diǎn)O′的坐標(biāo)為(0,6).
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),
AO′=,

PO+PA的最小值為
3)∵ABy軸,AB=5,點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3
AB不能為對(duì)角線,只能為邊.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,3),分兩種情況考慮,如圖2所示:


①當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方時(shí),AP=AB=5,即
解得:m1=-1,m2=7,
∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(-1,3),點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(7,3).
又∵PQ=5,且PQABy軸,
∴點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為(-1,8),點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為(7,8);
②當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P的下方時(shí),BP=AB=5,即,
解得:,
同理,可得出:點(diǎn)Q3的坐標(biāo)為(,-2),點(diǎn)Q4的坐標(biāo)為(,-2
綜上所述:當(dāng)以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q,8)或(7,8)或(,)或(,

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其中, ,

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