Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，AC與BD相交于O，點H在AB的延長線上，AH=AC，AG⊥CH，垂足為G，AG交BD于E，交BC于F．
求證：（1）CG=

1

2

AF；（2）OE=

1

2

CF．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和已知條件證明△ABF≌△CBH，所以可得到AF=CH，進(jìn)而證明CG=

1

2

AF；
（2）取CF的中點P，連接OP，利用正方形的性質(zhì)和已知條件證明OE=FP即可．

解答：證明：（1）∵AH=AC，AG⊥CH，
∴CG=

1

2

CH，∠BAF=90°-∠H．
∵在正方形ABCD中，∠HAC=∠ABC=90°，
∴∠BCF=90°-∠H．
∴∠BAF=∠BCG．
又∵AB=BC，
∴△ABF≌△CBH．
∴AF=CH．
∴CG=

1

2

AF．

（2）取CF的中點P，連接OP，
在正方形ABCD中，∠ABO=∠ACO=

1

2

×90°=45°．
∵AH=AC，AG⊥CH，
∴∠BAE=∠FAC，
∵∠BEF=∠ABE+∠BAF，∠BFE=∠FCA+∠FAC，
∴∠BEF=∠BFE．
∵AO=OC，
∴OP∥AF，
∴∠BOP=∠BEF，∠BPO=∠BFE．
∴∠BOP=∠BPO．
∴OE=FP，
∴OE=

1

2

CF．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，等腰三角形判定及性質(zhì)的運用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的運用．