Question

●計算
當a=6，b=4時，

a+b

2

與

ab

的大小關系是

 

．
當a=5，b=5時，

a+b

2

與

ab

的大小關系是

 

．
●探究
如圖所示，△ABC為圓O的內接三角形，AB為直徑，點C為圓O上一動點（不與點A、B重合），過C作CD⊥AB于D，設AD=a，BD=b．
①則線段OC=

 

，OD=

 

（分別用a，b表示）；
②則OC與CD表達式之間存在的關系是

 

（用含a，b的式子表示）．
●歸納
根據上面的觀察、探究，則

a+b

2

與

ab

的大小關系是：

 

．
●應用
要制作面積為1平方米的長方形鏡框，直接利用探究得出的結論，求出鏡框周長的最小值．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：計算：把a和b的值代入計算即可得到

a+b

2

與

ab

的大小關系；
探究：易得OC=

a+b

2

，再通過證明△ACD∽△CBD，利用相似比得CD=

ab

，根據直角邊與斜邊的關系得OC≥CD（當C點為半圓AB的中點時取等號），所以

a+b

2

≥

ab

；
歸納：利用上面的計算和證明的結果可推出

a+b

2

≥

ab

（a=b時取等號）；
應用：設長方形的兩邊分別為a、b，則ab=1，利用

a+b

2

≥

ab

得

a+b

2

≥1，即a+b≥1，所以2（a+b）≥2，于是可得鏡框周長的最小值．

解答：解：計算：
當a=6，b=4時，

a+b

2

=5，

ab

=

24

，由于

25

＞

24

，則

a+b

2

＞

ab

；
當a=5，b=5時，

a+b

2

=5，

ab

=

25

=5，所以

a+b

2

=

ab

；
探究：
∵AB為直徑，AB=AD+BD=a+b，
∴∠ACD=90°，OC=

a+b

2

，
∴∠A+∠B=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=∠CDB，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴

CD

BD

=

AD

CD

，即

CD

b

=

a

CD

，
∴CD=

ab

，
∵OC≥CD（當C點為半圓AB的中點時取等號），
∴

a+b

2

≥

ab

；
歸納：
通過代數計算和幾何證明可得

a+b

2

≥

ab

；
應用：
設長方形的兩邊分別為a、b，則ab=1，
∵

a+b

2

≥

ab

，
∴

a+b

2

≥1，即a+b≥1，
∴2（a+b）≥2，
∴鏡框周長的最小值為2．
故答案為

a+b

2

＞

ab

，

a+b

2

，

ab

，

a+b

2

=

ab

；

a+b

2

≥

ab

；

a+b

2

≥

ab

．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理、相似三角形的判定與性質；體會由于幾何的方法比較代數式的大�。�