Question

【題目】已知，在平行四邊形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，且AB=AE，連接BE交AC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，交BE于點(diǎn)G.

(1)若∠D=50°，求∠EBC的度數(shù)；

(2)若AC⊥CD,過(guò)點(diǎn)G作GM∥BC交AC于點(diǎn)M，求證：AH=MC.

Answer 1

【答案】（1）∠EBC=25°；（2）見(jiàn)解析；

【解析】

（1）根據(jù)等邊對(duì)等角以及平行線(xiàn)的性質(zhì)，即可得到∠1=∠2=∠ABC，再根據(jù)平行四邊形ABCD中，∠D=50°=∠ABC，可得出∠EBC的度數(shù)；

（2）過(guò)M作MN⊥BC于N，過(guò)G作GP⊥AB于P，則∠CNM=∠APG=90°，先根據(jù)AAS判定△BPG≌△BFG，得到PG=GF，根據(jù)矩形GFNM中GF=MN，即可得出PG=NM，進(jìn)而判定△PAG≌△NCM（AAS），可得AG=CM，再根據(jù)等角對(duì)等邊得到AH=AG，即可得到結(jié)論．

(1)∵AB=AE，

∴∠1=∠3，

∵AE∥BC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠2=∠ABC，

又∵平行四邊形ABCD中,∠D=50°，

∴∠ABC=50°，

∴∠EBC=25°；

(2)證明：如圖,過(guò)M作MN⊥BC于N,過(guò)G作GP⊥AB于P,則∠CNM=∠APG=90°，

由(1)可得，∠1=∠2，

∵AF⊥BC，

∴∠BPG=∠BFG=90°，

在△BPG和△BFG中，

，

∴△BPG≌△BFG(AAS)，

∴PG=GF，

又∵矩形GFNM中，GF=MN，

∴PG=NM，

∵AC⊥CD,CD∥AB，

∴∠BAC=90°=∠AFB，

即∠PAG+∠ABF=∠NCM+∠ABC=90°，

∴∠PAG=∠NCM，

在△PAG和△NCM中，

，

∴△PAG≌△NCM(AAS)，

∴AG=CM，

∵∠1=∠2，∠BAH=∠BFG，

∴∠AHG=∠FGB=∠AGH，

∴AG=AH，

∴AH=MC.